Question

18．如果關(guān)于x的一元二次方程ax²+bx+c=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且其中一個(gè)根為另一個(gè)根的2倍，則稱這樣的方程為“倍根方程”．
（1）若（x-2）（mx+n）=0是倍根方程，求證：4m²+5mn+n²=0；
（2）若點(diǎn)（p，q）在函數(shù)y=2x+2的圖象上，說明關(guān)于x的方程（q-2p）x²+3x+1=0是倍根方程．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)（x-2）（mx+n）=0是倍根方程，且x₁=2，x₂=-$\frac{n}{m}$得到$\frac{n}{m}$=-1，或$\frac{n}{m}$=-4，從而得到m+n=0，4m+n=0，進(jìn)而得到4m²+5mn+n²=（4m+n）（m+n）=0正確；
（2）把（p，q）代入y=2x+2得q-2p=2，可得原方程為2x²+3x+1=0，解方程即可判斷．

解答 解：（1））∵（x-2）（mx+n）=0是倍根方程，且x₁=2，x₂=-$\frac{n}{m}$，
∴$\frac{n}{m}$=-1或$\frac{n}{m}$=-4，
∴m+n=0，4m+n=0，
∵4m²+5mn+n²=（4m+n）（m+n）=0；

（2）把（p，q）代入y=2x+2，得：q=2p+2，
則q-2p=2，
原方程為2x²+3x+1=0，
解得：x₁=-$\frac{1}{2}$，x₂=-1，
∵x₂=2x₁，
∴它是倍根方程．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一元二次方程的解、一次函數(shù)函數(shù)圖形上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，正確的理解“倍根方程”的定義是解題的關(guān)鍵．