Question

17．如圖，在?ABCD中，∠A=60°，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，有下列結(jié)論：
①2DF=$\sqrt{3}$AB；②DE•CF=DF•AE；③∠DFE=∠CDB；④如果?ABCD的面積是8，則△DEF的面積是3，
其中正確結(jié)論的序號(hào)是①②③④．

Answer 1

分析 根據(jù)平行四邊形的對(duì)角相等可得∠C=∠A=60°，對(duì)邊相等可得CD=AB，然后解直角三角形可得DF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$CD，再求出①錯(cuò)誤；根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似求出△ADE和△CDF相似，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求出②正確；再求出∠EDF=60°，然后根據(jù)兩邊對(duì)應(yīng)成比例，夾角相等求出△ABD和△DFE相似，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠DFE=∠ABD，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠CDB=∠ABD，然后求出③正確；根據(jù)平行四邊形的對(duì)角線把平行四邊形分成兩個(gè)面積相等的三角形求出△ABD的面積，再根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方求解即可得到△DEF的面積為3，從而判斷出④正確．

解答 解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD，∠C=∠A=60°，
∵DF⊥BC，
∴DF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$CD，
∴$\sqrt{3}$CD=2DF，
∴$\sqrt{3}$AB=2DF，故①正確；
∵∠A=∠C=60°，
∠AED=∠CFD=90°，
∴△ADE∽△CDF，
∴$\frac{DE}{DF}=\frac{AE}{CF}$，
∴DE•CF=DF•AE，故②正確；
∵∠A=∠C=60°，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴∠ADE=∠CDF=90°-60°=30°，
∵∠A=60°，AB∥CD，
∴∠ADC=180°-60°=120°，
∴∠EDF=120°-60°=60°，
∴∠A=∠EDF=60°，
∵$\frac{DE}{DF}=\frac{AE}{CF}$=$\frac{AD}{CD}=\frac{AD}{AB}$，
∴△ABD∽△DFE，
∴∠DFE=∠ABD，
∵AB∥CD，
∴∠CDB=∠ABD，
∴∠CDB=∠DFE，故③正確；
∵?ABCD的面積為8，
∴△ABD的面積為4，
設(shè)△DEF的面積為S，
則$\frac{S}{4}=（\frac{DE}{AD}）^{2}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²=$\frac{3}{4}$，所以，S=3，
即△DEF的面積為3，故④正確．
綜上所述，結(jié)論正確的是①②③④．
故答案為：①②③④．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積，平行線的性質(zhì)，難點(diǎn)在于③求出△ABD和△DFE相似，再根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)角相等求解．