Question

8．如圖，已知正方形ADBF，點(diǎn)E在AD上，且∠AEB=105°，EC∥DF交BD的延長(zhǎng)線于C，N為BE延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，BN交AC于M，且CE=2MN，連結(jié)AN、CN，下列結(jié)論：
①AC⊥BN；②△NCE為等邊三角形；③BF=2AM；④BE+$\sqrt{2}$DE=DF，
其中正確的有（　�。�

• A． ①②③
• B． ①②④
• C． ①③④
• D． ②③④

Answer 1

分析 判斷①：由根據(jù)正方形的性質(zhì)得到AD=DB，∠3=45°，再CE∥DF得到∠2=∠3=45°，則CD=ED，接著證明△DBE≌△DAC得到∠1=∠5，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理易得∠AME=∠BDE=90°，所以AC⊥BN；
判斷②：由∠AEB=105°可得到∠1=15°，∠NED=105°，則∠5=15°，∠NEC=60°，根據(jù)三角形外角性質(zhì)得∠6=∠5+∠ACE=45°，所以∠MCE=30°，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到CE=2ME，由于CE=2MN，則ME=MN，根據(jù)線段中垂線的性質(zhì)得CN=CE，于是可判斷△NCE為等邊三角形；
判斷③：連結(jié)AB，如圖，根據(jù)正方形的性質(zhì)得∠ADB=45°，AB=$\sqrt{2}$BF，則∠ABM=30°，在Rt△ABM中，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到AB=2AM，所以$\sqrt{2}$BF=2AM，于是得到BF=$\sqrt{2}$AM；
判斷④：先由AM垂直平分NE得到AN=AE，則∠ANE=∠AEN=75°，再根據(jù)三角形內(nèi)角和計(jì)算出∠BAN=75°，于是得到BA=BN，則BN=DF，接著由CE=$\sqrt{2}$DE得到NE=$\sqrt{2}$DE，所以BN=BE+NE=BE+$\sqrt{2}$DE，則有DF=BE+$\sqrt{2}$DE．

解答 解：∵四邊形ABCD為正方形，
∴AD=DB，∠3=45°，
∵CE∥DF，
∴∠2=∠3=45°，
∴△CDE為等腰直角三角形，
∴CD=ED，
在△DBE和△DAC中
$\left\{\begin{array}{l}{DB=DA}\\{∠BDE=∠ADC}\\{DE=DC}\end{array}\right.$，
∴△DBE≌△DAC，
∴∠1=∠5，
而∠DEB=∠AEM，
∴∠AME=∠BDE=90°，
∴AC⊥BN，所以①正確；
∵∠AEB=105°，
∴∠1=15°，∠NED=105°，
∴∠5=15°，∠NEC=105°-45°=60°，
而∠6=∠5+∠ACE=45°，
∴∠MCE=30°，
而CM⊥ME，
∴CE=2ME，
∵CE=2MN，
∴ME=MN，
∴CN=CE，
∴△NCE為等邊三角形，所以②正確；
連結(jié)AB，如圖，則∠ADB=45°，
而∠1=15°，
∴∠ABM=30°，
在Rt△ABM中，AB=2AM，
∵AB=$\sqrt{2}$BF，
∴$\sqrt{2}$BF=2AM，
∴BF=$\sqrt{2}$AM，所以③錯(cuò)誤；
∵AM垂直平分NE，
∴AN=AE，
∴∠ANE=∠AEN=180°-∠AEB=75°，
而∠ABN=30°，
∴∠BAN=75°，
∴BA=BN，
而B(niǎo)A=DF，
∴BN=DF，
∵△CNE為等邊三角形，
∴CE=NE，
而CE=$\sqrt{2}$DE，
∴NE=$\sqrt{2}$DE，
∴BN=BE+NE=BE+$\sqrt{2}$DE，
∴DF=BE+$\sqrt{2}$DE，所以④正確．
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了四邊形的綜合題：熟練掌握正方形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)和等腰直角三角形的判定與性質(zhì)；會(huì)利用三角形全等證明角相等或利用等腰三角形的判定定理證明線段相等；記住含30度的直角三角形三邊的關(guān)系．