Question

18．如圖，△ABC中，∠ABC=90°，以AB為直徑作半圓O，交斜邊AC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作半圓O的切線DE，交BC于點(diǎn)E．
（1）求證：點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)；
（2）過(guò)點(diǎn)C作AB的平行線l，l與BD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，若$\frac{FD}{DB}$=$\frac{1}{3}$，求∠BAC的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)切線長(zhǎng)定理得到ED=EB，再根據(jù)等角的余角相等證明∠EDC=∠ECD，得到ED=EC由此即可證明．
（2））由CF∥AB，得$\frac{DF}{DB}$=$\frac{CD}{AD}$=$\frac{1}{3}$，設(shè)CD=a，AD=3a，由△ADB∽△BDC，得$\frac{AD}{BD}$=$\frac{BD}{DC}$，求出BD，再求出tan∠BAD的值即可解決問(wèn)題．

解答 （1）證明：∵AB是直徑，
∴∠ADB=90°，
∵∠ABC=90°，
∴BC⊥AB，
∴BC是⊙O的切線，
∵ED、EB是⊙O的切線，
∴ED=EB，
∴∠EDB=∠EBD，
∵∠EBD+∠BCD=90°，∠EDC+∠EDB=90°，
∴∠ECD=∠EDC，
∴EC=EB，
∴點(diǎn)E是BC中點(diǎn)．
（2）∵CF∥AB，
∴$\frac{DF}{DB}$=$\frac{CD}{AD}$=$\frac{1}{3}$，設(shè)CD=a，AD=3a，
∵∠DAB+∠ABD=90°，∠ABD+∠DBC=90°，
∴∠DAB=∠DBC，∵∠ADB=∠BDC=90°，
∴△ADB∽△BDC，
∴$\frac{AD}{BD}$=$\frac{BD}{DC}$，
∴BD²=DA•DC=3a²，
∵BD＞0，
∴BD=$\sqrt{3}$a，
∴tan∠BAD=$\frac{BD}{AD}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠BAD=30°即∠BAC=30°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查切線的性質(zhì)、平行線分線段成比例定理、三角函數(shù)定義等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用等角的余角相等證明角相等，學(xué)會(huì)設(shè)參數(shù)表示相應(yīng)的線段解決問(wèn)題，屬于中考�？碱}型．