Question

1．已知在以AB為斜邊的兩個直角△ABD和△ABC中，∠ACB=∠ADB=90°，AC平分∠BAD，AC交BD于E．
（1）如圖1，若CD∥AB．直接寫出$\frac{CD}{AB}$=$\frac{1}{2}$？
（2）當AE=2EC時，求證：△ABC≌△BAD；
（3）試探究AB與AD滿足怎樣的數量關系時，恰好使E為AC的中點？說明理由．

Answer 1

分析 （1）結論：$\frac{CD}{AB}$=$\frac{1}{2}$．如圖1中，延長AD、BC交于點M，先證明AB=AM，再證明AD=DM即可．
（2）如圖2中，延長AD、BC交于點M，作MN∥AC交BD的延長線于N，根據中位線定理證明AE=MN，再證明△ADE≌△MDN得AD=DM，進一步推出AB=AM=BM，由此即可證明．
（3）結論：AB=3AD．如圖3中，延長AD、BC交于點M，作MN∥AC交BD的延長線于N，先證明MN=2AE，再由AE∥MN，得到$\frac{AD}{DM}$=$\frac{AE}{MN}$=$\frac{1}{2}$，由此即可證明．

解答 （1）解：$\frac{CD}{AB}$=$\frac{1}{2}$．
理由：如圖1中，延長AD、BC交于點M．
∵CA平分∠BAM，
∴∠CAB=∠CAM，
∵∠CAB+∠ABC=90°，∠CAM+∠M=90°，
∴∠CBA=∠M，
∴AB=AM，
∵AC⊥BM，
∴BC=BM，
∵CD∥AB，
∴AD=DM=$\frac{1}{2}$AM=$\frac{1}{2}$AB，
∴$\frac{AD}{AB}$=$\frac{1}{2}$，
故答案為$\frac{1}{2}$，
（2）如圖2中，延長AD、BC交于點M，作MN∥AC交BD的延長線于N．
由（1）可知BC=CM，∵EC∥MN，
∴BE=EN，MN=2EC，
∵AE=2EC，
∴AE=MN，∠AED=∠N，
在△ADE和△MDN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADE=∠MDN}\\{∠AED=∠N}\\{AE=MN}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△MDN，
∴AD=DM，
∵BD⊥AM，
∴BA=BM，∵AB-=AM，
∴AB=BM=AM，
∴∠ABC=∠BAD=60°，
在△ABC和△BAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACB=∠ADB=90°}\\{∠ABC=∠BAD}\\{AB=BA}\end{array}\right.$，
△ABC≌△BAD．
（3）結論：AB=3AD．
理由：如圖3中，延長AD、BC交于點M，作MN∥AC交BD的延長線于N．
由（2）可知MN=2EC，
∵AE=EC，
∴MN=2AE，
∵AE∥MN，
∴$\frac{AD}{DM}$=$\frac{AE}{MN}$=$\frac{1}{2}$，
∴DM=2AD，AM=3AD，
∵AB=AM，
∴AB=3AD．

點評 本題考查全等三角形的判定和性質、等腰三角形的判定和性質、平行線分線段成比例定理等知識，解題的關鍵是添加輔助線構造全等三角形，學會輔助線的添加方法，屬于中考�？碱}型．