Question

6．如圖，拋物線與直線相交于A，B兩點(diǎn)，若點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)是（2，4），拋物線與x軸另一交點(diǎn)為D，并且△ABD的面積為6，直線AB與y軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，2）．點(diǎn)P是線段AB（不與A，B重合）上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，交拋物線與點(diǎn)Q．
（1）分別求出拋物線與直線的解析式；
（2）求線段PQ長(zhǎng)度的最大值；
（3）當(dāng)PQ取得最大值時(shí)，在拋物線上是否存在M、N兩點(diǎn)（點(diǎn)M的橫坐標(biāo)小于N的橫坐標(biāo)），使得P、D、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出MN的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）用待定系數(shù)法求出直線解析式，先由面積求出點(diǎn)D坐標(biāo)橫坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求出拋物線解析式；
（2）根據(jù)點(diǎn)P，Q的坐標(biāo)求出PQ的解析式，
（3）①以PD為平行四邊形的邊時(shí)和②以PD為平行四邊形的對(duì)角線，由點(diǎn)M，N在拋物線上，求出其坐標(biāo)，

解答 （1）解：設(shè)直線的解析式為：y=kx+b，
將點(diǎn)B（2，4），點(diǎn)（0，2）代入上式得：$\left\{\begin{array}{l}2k+b=4\\ b=2\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}k=1\\ b=2\end{array}\right.$，
∴所求直線的解析式為：y=x+2．
當(dāng)y=0時(shí)，x=-2，即點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2，0），
∵S_△ABD=$\frac{1}{2}AD•|{y_B}|=\frac{1}{2}×[{x_D}-（-2）]×4=6$，
∴x_D=1，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)（1，0），
設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x+2）（x-1），
將點(diǎn)B（2，4）代入上式得：a=1，
∴所求拋物線的解析式為：y=（x+2）（x-1），
即y=x²+x-2，
（2）設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，則點(diǎn)P為（t，t+2），點(diǎn)Q為（t，t²+t-2），
∴PQ=t+2-（t²+t-2）=-t²+4，
∵a=-1＜0，
∴PQ有最大值4；                                                
（3）由（2）知點(diǎn)P坐標(biāo)為（0，2），
①以PD為平行四邊形的邊時(shí)，設(shè)點(diǎn)M坐標(biāo)為（m，n）則點(diǎn)N為（m+1，n-2），
∵點(diǎn)M、N均在拋物線上，
∴n=m²+m-2，
n-2=（m+1）²+m+1-2，
解得  m=-2，n=0
∴M（-2，0），N（-1，-2），
②以PD為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，設(shè)點(diǎn)M為（m，n）則點(diǎn)N為（1-m，2-n），
同（1）方法一樣，得M（-1，-2）N（2，4），
綜上所述存在M（-2，2），N（-1，-2）和M（-1，-2），N（2，4）滿足題意．

點(diǎn)評(píng) 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，函數(shù)的極值，平行四邊形的判定和性質(zhì)，求函數(shù)解析式是解本題的關(guān)鍵．