Question

11．如圖，將等腰直角三角板放在正方形ABCD的頂點B處，且三角板中BE=EF．連AE，再作EG⊥AE且EG=AE．繞點B旋轉(zhuǎn)三角板，并保證線段FG與正方形的邊CD交于點H．
（1）求證：△ABE≌△GFE．
（2）當(dāng)DH取得最小值時，求∠ABE的度數(shù)．
（3）當(dāng)三角板有兩個頂點在邊BC上時，求$\frac{GH}{EF}$的值．

Answer 1

分析 （1）由等腰直角三角板和正方形ABCD的特點，直接得到△ABE≌△GFE．
（2）由△ABE≌△GFE得到的條件判斷出MH⊥AB，再判斷DH最小時的位置，即可；
（3）由△APE≌△ECG得到結(jié)論，判斷出△HCG是等腰直角三角形，即可求出結(jié)果．

解答 解：（1）證明：在△ABE和△GFE中，
$\left\{\begin{array}{l}{BE=FE}\\{∠AEB=∠CEF}\\{AE=CE}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△GFE，
（2）如圖，∵△ABE≌△GFE，
∴∠BAE=∠FGE，
∵∠AMN=∠EMG，
∴∠ANM=∠MEG=90°，
∴MH⊥AB，
∴四邊形ANHG是矩形，
∴DH=AN，
要使DH最小，則BN最大，
∵BN≤BF，
∴當(dāng)BF與BN重合時，AN最小，
∴∠ABE=∠FBE=45°
（3）如圖1，
由（1）知，∴△ABE≌△GFE，
∴AB=FG，∠ABE=∠GFE，
∴BC=FG，F(xiàn)G∥BC，
∴四邊形CEFG是平行四邊形，
∴∠ECG=∠BFG=135°，
∴△HCG是等腰直角三角形，
∴HG=CH=FE，
∴$\frac{HG}{EF}=1$，
∵FG=AB=BC，
∴HG=BF，
∴$\frac{GH}{EF}=\sqrt{2}$．

點評 此題是幾何變換綜合題，主要考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰直角三角形判定和性質(zhì)，即二倍體的關(guān)鍵是判斷三角形全等．