Question

16．如圖，在△ABC中，∠A=90°，∠B=30°，AC=6cm，點D從點A開始以1cm/s的速度向點C運動，點E從點C開始以2cm/s的速度向點B運動，兩點同時運動，同時停止，運動的時間為ts，過點E作EF∥AC交AB于點F．
（1）當(dāng)t為何值時，△DEC為等邊三角形？
（2）當(dāng)t為何值時，△DEC為直角三角形？
（3）求證：DC=EF．
（4）連接CF，當(dāng)CF平分∠ACB時，直接寫出AF與BF之間的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到EC=DC，列方程得到t=2，
（2）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到CE=$\frac{1}{2}$DC，列方程得到2t=$\frac{1}{2}$（6-t），根據(jù)直角三角形的性質(zhì)列方程得到結(jié)論；
（3）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到BC=12cm，于是得到DC=（6-t）cm，BE=（12-2t）cm，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠A=∠BFE=90°，由直角三角形的性質(zhì)得到EF=$\frac{1}{2}$BE=$\frac{1}{2}$（12-2t）=（6-t）cm，即可得到結(jié)論；
（4）根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到∠ACB=60°，根據(jù)角平分線的定義得到∠ACF=∠BCF=30°，根據(jù)等腰三角形的判定得到BF=CF，等量代換即可得到結(jié)論．

解答 解：由題意得AD=tcm，CE=2tcm，
（1）若△DEC為等邊三角形，則EC=DC，
∴2t=6-t，解得t=2，
∴當(dāng)t為2時，△DEC為等邊三角形；
（2）若△DEC為直角三角形，當(dāng)∠CED=90°，
∴CE=$\frac{1}{2}$DC，
∴2t=$\frac{1}{2}$（6-t），
解得：t=1.2，
當(dāng)∠CDE=90°時，∴$\frac{1}{2}$CE=DC，
∴$\frac{1}{2}×2t$=6-t，
∴t=3，
∴t為1.2或3時，△DEC為直角三角形；

（3）∵∠A=90°，∠B=30°，AC=6cm，
∴BC=12cm，
∴DC=（6-t）cm，BE=（12-2t）cm，
∵EF∥AC，
∴∠A=∠BFE=90°，
∵∠B=30°，
∴EF=$\frac{1}{2}$BE=$\frac{1}{2}$（12-2t）=（6-t）cm，
∴EF=CD；
（4）∵∠A=90°，∠B=30°，
∴∠ACB=60°，
∵CF平分∠ACB，
∴∠ACF=∠BCF=30°，
∴∠B=∠BCF，AF=$\frac{1}{2}$CF，
∴BF=CF，
∴BF=2AF．

點評 本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，角平分線的定義，等腰三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵．