Question

8．如圖，直線l₁：y=x+1與直線l₂：y=mx+n交于點(diǎn)P（1，b），直線l₂與x軸交于點(diǎn)A（4，0）．
（1）求b的值；
（2）解關(guān)于x，y的方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{y=mx+n}\end{array}\right.$，并直接寫出它的解；
（3）判斷直線l₃：y=nx+m是否也經(jīng)過(guò)點(diǎn)P？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由點(diǎn)P的坐標(biāo)結(jié)合一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，即可求出b的值；
（2）利用數(shù)形結(jié)合的思想即可得出方程組的解就是兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，依此即可得出結(jié)論；
（3）根據(jù)點(diǎn)A、P的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出m、n的值，由此即可得出直線l₃的解析式，代入x=1得出y=2，由此即可得出直線l₃：y=nx+m也經(jīng)過(guò)點(diǎn)P．

解答 解：（1）∵點(diǎn)P（1，b）在直線l₁：y=x+1上，
∴b=1+1=2．
（2）∵直線l₁：y=x+1與直線l₂：y=mx+n交于點(diǎn)P（1，2），
∴關(guān)于x，y的方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{y=mx+n}\end{array}\right.$的解為$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=2}\end{array}\right.$．
（3）直線l₃：y=nx+m也經(jīng)過(guò)點(diǎn)P．理由如下：
將點(diǎn)A（4，0）、P（1，2）代入直線l₂：y=mx+n中，
得：$\left\{\begin{array}{l}{0=4m+n}\\{2=m+n}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{2}{3}}\\{n=\frac{8}{3}}\end{array}\right.$，
∴直線l₃：y=$\frac{8}{3}$x-$\frac{2}{3}$．
當(dāng)x=1時(shí)，y=$\frac{8}{3}$×1-$\frac{2}{3}$=2，
∴直線l₃：y=$\frac{8}{3}$x-$\frac{2}{3}$經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（1，2）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，解題的關(guān)鍵是：（1）利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求出b值；（2）根據(jù)交點(diǎn)坐標(biāo)得出方程組的解；（3）利用待定系數(shù)法求出m、n的值．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式是關(guān)鍵．