Question

14．如圖，△ABD是等腰直角三角形，點C是BD延長線上一點，F(xiàn)在AC上，AD=AF，E為△ADC內(nèi)一點，連接AE，BE，AE平分∠CAD，AE⊥BE．
（1）若∠EBD=15°，求∠ADF；
（2）求證：BE-AE=DF．

Answer 1

分析 （1）首先求出∠DAF=30°，利用等腰三角形的性質(zhì)即可解決問題；
（2）作DK∥EF交BE于K．首先證明∠ABO=∠ADE=30°，再證明四邊形EFDK是平行四邊形，△DEF，△EDK都是等腰直角三角形，由△BDK≌△ADE，推出BK=AD即可解決問題；

解答 （1）解：設(shè)AD交BE于O，
∵∠AOE=∠BOD，∠AEO=∠BDO=90°，
∴∠DAE=∠EBD=15°，
∵EA平分∠DAF，
∴∠DAF=30°，
∵AD=AF，
∴∠ADF=∠AFD=75°

（2）證明：作DK∥EF交BE于K．
∵DA=DB，∠ADB=90°，
∴∠ABD=45°，∵∠EBD=15°，
∴∠ABO=30°，∠BOD=∠AOE=75°，
∵∠AEO=∠BDO=90°，
∴△AOE∽△BOD，
∴$\frac{OA}{OB}$=$\frac{OE}{OD}$，
∴$\frac{OA}{OE}$=$\frac{OB}{OD}$，∵∠AOB=∠EOD，
∴△AOB∽△EOD，
∴∠EDO=∠ABO=30°．
即∠ADE=30°，
∵AD=AF．EA平分∠DAF，
∴AE⊥DF，∵AE⊥BE，
∴BE∥DF，
∴四邊形EFDK是平行四邊形，
∴EF=DK，DF=EK．
∵∠BOD=∠ODE+∠OED=75°，
∴∠ODE=45°，
∴∠EDF=∠ODE=45°，
∵EA=EA，∠EAD=∠EAF，AD=AF，
∴△EAD≌△EAF，
∴ED=EF，
∴∠EDF=∠EFD=45°，
∴△DEF，△EDK都是等腰直角三角形，
∵∠BDA=∠KDE=90°，
∴∠BDK=∠ADE，∵DB=DA，DK=DE，
∴△BDK≌△ADE，
∴BK=AD，
∴BE-BK=EK，
∴BE-AD=DF．

點評 本題科學(xué)全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題．