Question

8．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，動點D從B出發(fā)向A運(yùn)動，作
DE⊥AB交射線BC于點E，以DE為直徑作圓，另一個動點G以相同速度從A出發(fā)向B運(yùn)動，作GH⊥AB交射線AC于點H，當(dāng)GH與⊙F相切時，求出DE的值．

Answer 1

分析 作FQ⊥QG于Q，如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)得FQ=$\frac{1}{2}$DE，再證明四邊形FQGD為正方形得到DG=FG=$\frac{1}{2}$DE，再利用勾股定理計算出AB=10，接著證明Rt△BDE∽Rt△BCA，利用相似比可得BD=$\frac{4}{3}$DE，然后利用BD=AG得到$\frac{4}{3}$DE+$\frac{1}{2}$DE+$\frac{4}{3}$DE=10，然后就解方程即可．

解答 解：作FQ⊥QG于Q，如圖，
∵GH與⊙F相切，
∴FQ=$\frac{1}{2}$DE，
∵DE⊥AB，HG⊥AB，
∴四邊形FQGD為正方形，
∴DG=FG=$\frac{1}{2}$DE，
在Rt△ACB中，AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∵∠EBD=∠ABC，
∴Rt△BDE∽Rt△BCA，
∴DE：AC=BD：BC，即DE：6=BD：8，
∴BD=$\frac{4}{3}$DE，
∵BD=AG，
∴$\frac{4}{3}$DE+$\frac{1}{2}$DE+$\frac{4}{3}$DE=10，
∴DE=$\frac{60}{19}$．

點評 本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．由定理可知，若出現(xiàn)圓的切線，必連過切點的半徑，構(gòu)造定理圖，得出垂直關(guān)系．簡記作：見切點，連半徑，見垂直．