Question

10．有一列數(shù)，a₁，a₂，a₃…a_n，其中a₁=-1，a₂=$\frac{1}{1-{a}_{1}}$，a₃=$\frac{1}{1-{a}_{2}}$…a_n=$\frac{1}{1-{a}_{n-1}}$．
（1）請分別求出a₁，a₂，a₃的值．
（2）求a₁+a₂+a₃+…+a_3n的值（用含n的式子表示）．
（3）若a₁=2，則a₁+a₂+a₃+…+a_3n的值不變（填“改變”或“不變”）

Answer 1

分析 （1）首先根據(jù)a₁=-1，可得a₂=$\frac{1}{1-{a}_{1}}$=$\frac{1}{1-（-1）}=\frac{1}{2}$；然后根據(jù)a₂=$\frac{1}{2}$，可得a₃=$\frac{1}{1-{a}_{2}}$=$\frac{1}{1-\frac{1}{2}}$=2，據(jù)此解答即可；
（2）首先根據(jù)a₁，a₂，a₃，…的取值情況，找出這列數(shù)的排列規(guī)律，然后根據(jù)數(shù)列的求和方法，求出a₁+a₂+a₃+…+a_3n的值是多少即可．
（3）若a₁=2，根據(jù)a₁，a₂，a₃，…的取值情況，找出這列數(shù)的排列規(guī)律，然后求出a₁+a₂+a₃+…+a_3n的值是多少，判斷出a₁+a₂+a₃+…+a_3n的值改變不改變即可．

解答 解：（1）因為a₁=-1，
所以a₂=$\frac{1}{1-{a}_{1}}$=$\frac{1}{1-（-1）}=\frac{1}{2}$；
因為a₂=$\frac{1}{2}$，
所以a₃=$\frac{1}{1-{a}_{2}}$=$\frac{1}{1-\frac{1}{2}}$=2；
（2）因為a₃=2，
所以a₄=$\frac{1}{1{-a}_{3}}$=$\frac{1}{1-2}$=-1，
所以這列數(shù)是：-1、$\frac{1}{2}、2$、-1、$\frac{1}{2}、2、…$，每3個數(shù)一個循環(huán)：-1、$\frac{1}{2}$、2，
所以a₁+a₂+a₃+…+a_3n
=（-1+$\frac{1}{2}$+2）×3n÷3
=$\frac{3}{2}$×3n÷3
=1.5n
（3）若a₁=2，
則a₂=$\frac{1}{1-2}=-1$，a₃=$\frac{1}{2}$，a₄=2，a₅=-1，…，
所以這列數(shù)是：2、-1、$\frac{1}{2}、2$、-1、$\frac{1}{2}、2、…$，從第二個數(shù)開始，每3個數(shù)一個循環(huán)：-1、$\frac{1}{2}$、2，
則a₁+a₂+a₃+…+a_3n
=2+（-1+$\frac{1}{2}$+2）×3n÷3-2
=2+$\frac{3}{2}$×3n÷3-2
=2+1.5n-2
=1.5n
所以若a₁=2，則a₁+a₂+a₃+…+a_3n的值不變．
故答案為：不變．

點評 （1）此題主要考查了探尋數(shù)列規(guī)律問題，注意觀察總結(jié)規(guī)律，并能正確的應(yīng)用規(guī)律，解答此題的關(guān)鍵是判斷出這列數(shù)是：-1、$\frac{1}{2}、2$、-1、$\frac{1}{2}、2、…$，每3個數(shù)一個循環(huán)：-1、$\frac{1}{2}$、2．
（2）此題還考查了數(shù)列的求和問題，要熟練掌握．