Question

18．如圖，已知在矩形ABCD中，AB=4，BC=2，點M，E在AD上，點F在邊AB上，并且DM=1，現(xiàn)將△AEF沿著直線EF折疊，使點A落在邊CD上的點P處，則當(dāng)PB+PM的和最小時，ME的長度為（　�。�

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{4}{9}$
• C． $\frac{2}{3}$
• D． $\frac{5}{9}$

Answer 1

分析 延長AD到M′，使得DM′=DM=1，連接PM′，如圖，當(dāng)PB+PM的和最小時，M′、P、B三點共線，易證△DPM′∽△CPB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求出DP，設(shè)AE=x，則PE=x，DE=2-x，然后在Rt△PDE中運(yùn)用勾股定理求出x，由此可求出EM的值．

解答 解：延長AD到M′，使得DM′=DM=1，連接PM′，如圖．
當(dāng)PB+PM的和最小時，M′、P、B三點共線．
∵四邊形ABCD是矩形，AB=4，BC=2，
∴DC=AB=4，AD=BC=2，AD∥BC，
∴△DPM′∽△CPB，
∴$\frac{DP}{PC}$=$\frac{DM′}{BC}$=$\frac{1}{2}$，
∴DP=$\frac{1}{2}$PC，
∴DP=$\frac{1}{3}$DC=$\frac{4}{3}$．
設(shè)AE=x，則PE=x，DE=2-x，
在Rt△PDE中，
∵DE²+DP²=PE²，
∴（2-x）²+（$\frac{4}{3}$）²=x²，
解得：x=$\frac{13}{9}$，
∴ME=AE-AM=$\frac{13}{9}$-1=$\frac{4}{9}$．
故選B．

點評 本題主要考查了軸對稱的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、兩點之間線段最短等知識，在折疊矩形中通�？蛇\(yùn)用勾股定理來求線段長度．