Question

2．如圖，△OAB為等腰直角三角形，斜邊OB邊在x負(fù)半軸上，一次函數(shù)y=-$\frac{1}{7}$x+$\frac{4}{7}$與△OAB交于E、D兩點(diǎn)，與x軸交于C點(diǎn)，反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的圖象的一支過E點(diǎn)，若S_△AED=S_△DOC，則k的值為（　　）

• A． -$\frac{6}{7}$
• B． -$\sqrt{3}$
• C． -3
• D． -4

Answer 1

分析 作EF⊥OB于F，AG⊥OB于G，設(shè)E（m，n），則OF=-m，EF=n，由于△OAB為等腰直角三角形，從而證得EF=BF=n，OB=-m+n，AG=$\frac{1}{2}$OB=$\frac{1}{2}$（-m+n），根據(jù)直線的解析式求得C的坐標(biāo)，即可求得BC=-m+n+4，由S_△AED=S_△DOC得出S_△EBC=S_△ABO，從而得出$\frac{1}{2}$（-m+n）•$\frac{1}{2}$（-m+n）=$\frac{1}{2}$（-m+n+4）•n，整理得m²=n²+8n，由點(diǎn)E是直線y=-$\frac{1}{7}$x+$\frac{4}{7}$上的點(diǎn)，得出m=4-7n，代入m²=n²+8n化簡(jiǎn)得，3n²-4n+1=0，從而解得n=1，進(jìn)而求得m=-3，得出E的坐標(biāo)，代入反比例函數(shù)的解析式即可求得k的值．

解答 解：如圖，作EF⊥OB于F，AG⊥OB于G，
設(shè)E（m，n），
∴OF=-m，EF=n，
∵△OAB為等腰直角三角形，
∴∠ABO=45°，
∵EF⊥OB，
∴EF=BF=n，
∴OB=-m+n，
∴AG=$\frac{1}{2}$OB=$\frac{1}{2}$（-m+n），
∵一次函數(shù)y=-$\frac{1}{7}$x+$\frac{4}{7}$與x軸交于C點(diǎn)，
∴C（4，0），
∴BC=-m+n+4，
∵S_△AED=S_△DOC，
∴S_△EBC=S_△ABO，
∴$\frac{1}{2}$OB•AG=$\frac{1}{2}$BC•EF，即$\frac{1}{2}$（-m+n）•$\frac{1}{2}$（-m+n）=$\frac{1}{2}$（-m+n+4）•n，
整理得，m²=n²+8n，
∵點(diǎn)E是直線y=-$\frac{1}{7}$x+$\frac{4}{7}$上的點(diǎn)，
∴n=-$\frac{1}{7}$m+$\frac{4}{7}$，得出m=4-7n，
代入m²=n²+8n化簡(jiǎn)得，3n²-4n+1=0
解得n=1或n=$\frac{1}{3}$，
∴m=-3或m=4-$\frac{7}{3}$＞0（舍去），
∴E（-3，1），
∵反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的圖象過E點(diǎn)，
∴k=mn=-3．
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)和一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形面積，函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征等，能夠看出S_△EBC=S_△ABO是解題的關(guān)鍵．