Question

18．如圖，邊長為8的正方形OABC的兩邊在坐標軸上，以點C為頂點的拋物線經(jīng)過點A，點P是拋物線上點A、C間的一個動點（含端點），過點P作PD⊥OA于點D，點E（8，2），F(xiàn)（0，6），連接PE、PF、EF．
（1）直接寫出拋物線和直線EF的解析式．
（2）小明探究點P的位置發(fā)現(xiàn)：當點P與點A或點C重合時，PD與PF的和為定值，進而猜想：對于任意一點P，PD與PF的和為定值，請你判斷該猜想是否正確，并說明理由．
（3）小明進一步探究得出結(jié)論：
①使得PD-PE最大的點P是否存在？若存在求出點P的坐標，否則說明理由．
②若將“使△PEF得面積為整數(shù)”的點P記作“好點”，且存在多個“好點”，請直接寫出所有“好點”的個數(shù)，求出使得△PEF的面積最大的好點P的坐標．

Answer 1

分析 （1）用待定系數(shù)法求出拋物線解析式和直線解析式；
（2）設(shè)出點P的坐標，用勾股定理計算即可；
（3）由y=-$\frac{1}{2}$x+6與y=-$\frac{1}{8}$x²+8求出交點坐標，建立S_△PEF與m的函數(shù)關(guān)系式即可．

解答 解：（1）∵正方形的邊長為8，
∴OC=OA=8，
∴A（8，0），C（0，8）
設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+8，
∵點A在拋物線上，
∴0=a×64+8，
∴a=-$\frac{1}{8}$，
∴y=-$\frac{1}{8}$x²+8，
∵點E（8，2），F(xiàn)（0，6），
∴直線EF的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+6；
（2）猜想正確；
理由：設(shè)P（m，-$\frac{1}{8}$m²+8），
根據(jù)勾股定理得，PF=$\sqrt{{m}^{2}+（-\frac{1}{8}{m}^{2}+8-6）^{2}}$=$\frac{1}{8}$m²+2，PD=-$\frac{1}{8}$m²+8，
則PF+PD=10，
（3）①存在．
∵PD-PE=10-PF-PE=10-（PF+PE），PE+PF≥EF，EF=4$\sqrt{5}$，
∴PD-PE≤10-EF=10-4$\sqrt{5}$，
當F、P、D三點共線時，PD-PE有最大值10-4$\sqrt{5}$．
∵y=-$\frac{1}{2}$x+6與y=-$\frac{1}{8}$x²+8，
∴x=2+2$\sqrt{5}$，或x=2-2$\sqrt{5}$（舍），
∴P的坐標為P（2+2$\sqrt{5}$，5-$\sqrt{5}$）；
②設(shè)△PEF的面積為S，PD與EF交于點G，G（m，-$\frac{1}{2}$m+6），
當點P在直線EF上方時，S_△PEF=$\frac{1}{2}$×8×（-$\frac{1}{8}$m²+8+$\frac{1}{2}$m-6）=-$\frac{1}{2}$（m-2）²+10，
∴當m=2時，S的最大值為10，此時P（2，7.5）
∴0≤m＜2+2$\sqrt{5}$，0＜S_△PEF≤10．
∴由對稱性知，好點有12個；
當點P在直線EF下方時，S_△PEF=$\frac{1}{2}$×8×（-$\frac{1}{8}$m^2-8+$\frac{1}{2}$m+66）=$\frac{1}{2}$（m-2）^2_-10．
2+2$\sqrt{5}$＜m≤8，
∴0＜S_△PEF≤8．好點有8個．
綜上：好點共有20個，其中△PEF的面積最大時好點P的坐標為P（2，7.5）．

點評 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，勾股定理，三角形面積的計算，解本題的關(guān)鍵是利用條件表示點的坐標．