Question

8．如圖，已知點A（-3，0），二次函數(shù)y=ax²+bx+$\sqrt{3}$的對稱軸為直線x=-1，其圖象過點A與x軸交于另一點B，與y軸交于點C．
（1）求二次函數(shù)的解析式，寫出頂點坐標(biāo)；
（2）動點M，N同時從B點出發(fā)，均以每秒2個三位長度的速度分別沿△ABC的BA，BC邊上運動，設(shè)其運動的時間為t秒，當(dāng)其中一個點到達(dá)終點時，另一個點也隨之停止運動，連結(jié)MN，將△BMN沿MN翻折，若點B恰好落在拋物線弧上的B′處，試求t的值及點B′的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，Q為BN的中點，試探究坐標(biāo)軸上是否存在點P，使得以B，Q，P為頂點的三角形與△ABC相似？如果存在，請求出點P的坐標(biāo)；如果不存在，試說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式，根據(jù)配方法，可得頂點坐標(biāo)；
（2）根據(jù)等邊三角形的判定，可得△MBN是正三角形，根據(jù)翻折的性質(zhì)，可得B′N，∠B′NM，根據(jù)平行線的判定，可得B′的縱坐標(biāo)，根據(jù)點的坐標(biāo)滿足函數(shù)解析式，可得關(guān)于t的方程，根據(jù)解方程，可得t，可得B′的坐標(biāo)；
（3）根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，可得答案．

解答 解：（1）由題意得$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{2a}=-1}\\{9a-3b+\sqrt{3}=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{b=-\frac{2\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$，
二次函數(shù)的解析式為y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x+$\sqrt{3}$
配方得y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x+1）²+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
頂點坐標(biāo)為（-1，$\frac{4\sqrt{3}}{3}$），
（2）如圖1，
由題意知OA=3，OB=1，ON=$\sqrt{3}$，
∴∠CBA=60°，
又∵BM=BN，
∴△MBN是正三角形，
∴M（1-2t，0），N（1-t，$\sqrt{3}$t）．
將△BMN沿MN翻折后，得
B′N=BN=2t，∠B′NM=∠BMN=60°，
∴B′N∥BM，
∴B′（1-3t，$\sqrt{3}$t），
又點B′在拋物線上，
∴$\sqrt{3}$t=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$（1-3t）²-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$（1-3t）+$\sqrt{3}$，
化簡，得9t²-9t=0，解得t=0（不符合題意，舍）t=1，
t=1時，1-3t=-2，$\sqrt{3}$t=$\sqrt{3}$，
∴B′（-2，$\sqrt{3}$）；
（3）由題意可得△ABC是直角三角形，且∠BAC=30°，∠ABC=60°．又Q（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．
①如圖2，
由題意知OA=3，OB=1，
P在x軸上時，過Q作P₁Q⊥BQ交x軸于P₁點，
∵P₁Q∥AC，
∴₁BQ∽△ABC，
$\frac{{P}_{1}B}{AB}$=$\frac{BQ}{BC}$=$\frac{1}{2}$，
解得P₁B=2，OP₁=1，P₁（-1，0）；
過Q作P₂Q⊥x軸于P₂，
∵∠P₂BQ=∠CBA，∠QPB=∠ACB，
∴QBP₂∽△ABC，
$\frac{B{P}_{2}}{BC}$=$\frac{{P}_{2}Q}{AC}$，
解得BP₂=$\frac{1}{2}$，OP₂=$\frac{1}{2}$，
P₂（$\frac{1}{2}$，0）；
P在x軸的其它位置時，△PBQ不可能為直角三角形，不可能與△ABC相似；
②同理，當(dāng)P在y軸上時，作P₃Q⊥BQ交y軸于P₃，
∵∠P₃BQ=∠BAC=∠P₃BO=30°，∠P₃QB=∠ACB=90°，
∴△BP₃Q∽△ABC．
∵tan∠P₃BO=$\frac{{P}_{3}O}{OB}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，P₃O=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
P₃（0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）．
B作P₄B⊥BQ交y于P₄，但$\frac{B{P}_{4}}{BQ}$≠$\frac{AC}{BC}$，
∴△QBP₄Y與△ABC不相似，P在y軸上其它位置時，△PQB不為直角三角形，不能與△ABC相似；
綜上所述：坐標(biāo)軸上存在點P，使得以B，Q，P為頂點的三角形與△ABC相似，P點坐標(biāo)為（-1，0），（$\frac{1}{2}$，0），（0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）．

點評 本題考查了二次函數(shù)綜合題，解（1）的關(guān)鍵是待定系數(shù)法；解（2）的關(guān)鍵是利用翻折的性質(zhì)平行線的判定與性質(zhì)得出B′的坐標(biāo)，又利用了點的坐標(biāo)滿足函數(shù)解析式；解（3）的關(guān)鍵是相似三角形的判定與性質(zhì)，要分類討論，以防遺漏．