Question

3．如圖，已知，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)P在AB的延長(zhǎng)線上，弦CE交AB于點(diǎn)，連結(jié)OE，AC，且∠P=∠E，∠POE=2∠CAB．
（1）求證：CE⊥AB；
（2）求證：PC是⊙O的切線；
（3）若BD=2OD，且PB=9，求⊙O的半徑長(zhǎng)和tan∠P的值．

Answer 1

分析 （1）只要證明∠DOC=∠DOE，利用等腰三角形的三線合一即可證明；
（2）欲證明PC是⊙O的切線，只要證明∠OCP=90°即可；
（3）設(shè)⊙O的半徑為r，OD=x，則BD=2x，r=3x，易證得Rt△OCD∽R(shí)t△OPC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得OC²=OD•OP，即（3x）²=x•（3x+9），解出x，即可得圓的半徑；同理可得PC²=PD•PO=（PB+BD）•（PB+OB）=162，可計(jì)算出PC，然后在Rt△OCP中，根據(jù)正切的定義即可得到tan∠P的值．

解答 （1）證明：連接OC，
∴∠COB=2∠CAB，
又∠POE=2∠CAB．
∴∠COD=∠EOD，
又∵OC=OE，
∴∠ODC=∠ODE=90°，
即CE⊥AB；

（2）證明：∵CE⊥AB，∠P=∠E，
∴∠P+∠PCD=∠E+∠PCD=90°，
又∠OCD=∠E，
∴∠OCD+∠PCD=∠PCO=90°，
∴PC是⊙O的切線；

（3）解：設(shè)⊙O的半徑為r，OD=x，則BD=2x，r=3x，
∵CD⊥OP，OC⊥PC，
∴Rt△OCD∽R(shí)t△OPC，
∴OC²=OD•OP，即（3x）²=x•（3x+9），
解之得x=$\frac{3}{2}$，
∴⊙O的半徑r=$\frac{9}{2}$，
同理可得PC²=PD•PO=（PB+BD）•（PB+OB）=162，
∴PC=9 $\sqrt{2}$，
在Rt△OCP中，tan∠P=$\frac{OC}{PC}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查切線的判定和性質(zhì)、垂徑定理、勾股定理、銳角三角函數(shù)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)條件出發(fā)與直線，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)構(gòu)建方程解決問(wèn)題，屬于中考常考題型．