Question

17．在矩形ABCD中，∠DAB的平分線交AB于點(diǎn)E，交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接BD．
（1）直接寫出∠AEC的度數(shù)（不需證明）；
（2）求證：BE=DC；
（3）點(diǎn)P是線段EF上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)E，F(xiàn)重合），在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，能否使△BDP成為等腰直角三角形？若能，寫出點(diǎn)P滿足的條件并證明；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由矩形的性質(zhì)與三角形外角和定理即可得出結(jié)果；
（2）由矩形的性質(zhì)得出AB=DC、AD∥BC，再平行線的性質(zhì)得出∠AEB=∠EAD=45°，即可得出結(jié)論；
（3）連接CP，證出△CEF為等腰直角三角形，再由點(diǎn)P是線段EF的中點(diǎn)得出EP=CP、∠ECP=45°、∠EPC=90°，由SAS證得△BEP≌△DCP，即可得出結(jié)論．

解答 （1）解：∵四邊形ABCD時(shí)矩形，
∴∠DAB=∠ABC=∠DCB=90°，
∵∠DAB的平分線交BC于點(diǎn)E，
∴∠BAE=∠EAD=45°，
∴∠AEC=∠ABC+∠BAE=90°+45°=135°；

（2）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠DAB=∠DCB=90°，AB∥DC，AD∥BC，AB=DC．
∴∠BEA=∠FAD．
∵AF是∠DAB的平分線，
∴∠FAB=∠FAD=45°．
∴∠FAB=∠BEA=45°．
∴AB=BF．
∴BE=DC．

（3）解：在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，能使△BDP成為等腰直角三角形，此時(shí)點(diǎn)P是線段EF的中點(diǎn)．理由如下：
在△ECF中，∠ECF=90°，∠FEC=∠AEB=45°，
∴∠F=90°-∠FEC=90°-45°=45°．
∴∠F=∠FEC．
∴CE=CF．
∵點(diǎn)P是線段EF的中點(diǎn)，
∴EP=CP，∠ECP=45°，∠EPC=90°．
∴∠DCP=∠DCB+∠ECP=90°+45°=135°．
∵∠BEP=∠AEC=135°，
∴∠BEP=∠DCP．
在△BEP和△DCP中，$\left\{\begin{array}{l}{BE=DC}&{\;}\\{∠BEP=∠DCP}&{\;}\\{EP=CP}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BEP≌△DCP（SAS），
∴BP=DP，∠BPE=∠DPC．
∴∠BPD=∠BPE+∠DPE=∠DPC+∠DPE=∠EPC=90°．
∴△BDP為等腰直角三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題是四邊形綜合題目，考查了矩形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形外角和定理等知識(shí)；熟練掌握等腰三角形與等腰直角三角形的判定與性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．