Question

6．如圖，如果一個直角三角形的內(nèi)接正方形的面積恰好是三角形面積的0.48倍，則該直角三角形的兩條直角邊的比為（　�。�

• A． 1：2
• B． 2：3
• C． 3：4
• D． 4：5

Answer 1

分析 根據(jù)正方形的性質(zhì)可得出∠AFE=∠EDC=90°、∠AEF=∠ECD，由此即可得出△AEF∽△ECD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得出$\frac{EF}{CD}=\frac{AF}{DE}$，設(shè)AB=a，BC=b，DE=EF=c，則AF=a-c，CD=b-c，結(jié)合$\frac{EF}{CD}=\frac{AF}{DE}$以及S_{正方形BDEF}=0.48S_△ABC，即可得出關(guān)于$\frac{a}$的一元二次方程，解方程即可得出結(jié)論．

解答 解：在圖中標(biāo)上字母，如圖所示．
∵四邊形BDEF為正方形，
∴∠BFE=∠BDE=90°，EF∥BD，
∴∠AFE=∠EDC=90°，∠AEF=∠ECD，
∴△AEF∽△ECD，
∴$\frac{EF}{CD}=\frac{AF}{DE}$．
設(shè)AB=a，BC=b，DE=EF=c，則AF=a-c，CD=b-c，
∴c²=（a-c）（b-c），
∴c=$\frac{ab}{a+b}$．
∵S_{正方形BDEF}=0.48S_△ABC，
∴c²=0.24ab=$（\frac{ab}{a+b}）^{2}$，
∴6•$（\frac{a}）^{2}$-13•$\frac{a}$+6=0，
解得：$\frac{a}$=$\frac{2}{3}$或$\frac{a}$=$\frac{3}{2}$，
∴該直角三角形的兩條直角邊的比為2：3．
故選B．

點(diǎn)評 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是得出關(guān)于$\frac{a}$的一元二次方程．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)找出邊與邊的關(guān)系是關(guān)鍵．