Question

1．二次函數(shù)y=x²+（2m+1）x+m²的圖象交x軸于A（x₁，0）、B（x₂，0），已知x₁＜x₂且x₁²+x₁•x₂+x₂²=21．
（1）求m的值；
（2）設(shè)直線AM交拋物線于點(diǎn)M，若∠MAB為銳角，且△ABM的面積為6，求直線AM的解析式；
（3）對(duì)于（2）中的點(diǎn)M，若AP⊥AM交拋物線于另一點(diǎn)P，問在x軸上是否存在一點(diǎn)Q，使得以A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABM相似？如果存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；如果不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）由拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系可得出x₁+x₂=-2m-1、x₁•x₂=m²，結(jié)合x₁²+x₁•x₂+x₂²=21即可得出關(guān)于m的一元二次方程，解方程即可得出m的值，再根據(jù)x₁＜x₂結(jié)合根的判別式可得出關(guān)于m的一元一次不等式，解不等式即可得出m的取值范圍，由此即可確定m的值；
（2）將m=2代入二次函數(shù)解析式中令其y=0，即可求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，進(jìn)而可得出AB的長處，根據(jù)三角形的面積公式結(jié)合△ABM的面積為6即可得出點(diǎn)M的縱坐標(biāo)，將其代入二次函數(shù)解析式中求出x值，再根據(jù)∠MAB為銳角，即可確定點(diǎn)M的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)A、M的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出直線AM的解析式；
（3）延長AP交y軸于點(diǎn)C，由A、M的坐標(biāo)可得出∠MAO=45°，結(jié)合AP⊥AM即可得出點(diǎn)C的坐標(biāo)，從而得出直線AC的解析式，聯(lián)立直線AC與拋物線的解析式成方程組，解方程組即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．假設(shè)存在符合題意的點(diǎn)Q，設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（n，0），再分△APQ∽△AMB與△AQP∽△AMB兩種情況考慮，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可找出關(guān)于n的一元一次方程，解方程即可求出n值，從而得出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵二次函數(shù)y=x²+（2m+1）x+m²的圖象交x軸于A（x₁，0）、B（x₂，0），
∴x₁+x₂=-2m-1，x₁•x₂=m²，
∵x₁²+x₁•x₂+x₂²=$（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}$-x₁•x₂=3m²+4m+1=21，
∴m₁=-$\frac{10}{3}$，m₂=2．
∵x₁＜x₂，
∴△=（2m+1）²-4m²=4m+1＞0，
∴m＞-$\frac{1}{4}$．
∴m的值為2．
（2）∵m=2，
∴二次函數(shù)解析式為y=x²+5x+4，
當(dāng)y=0時(shí)，有x²+5x+4=（x+1）（x+4）=0，
解得：x₁=-4，x₂=-1，
∴A（-4，0），B（-1，0），
∴AB=3．
∵S_△ABM=$\frac{1}{2}$AB•|y_M|=$\frac{1}{2}$×3×|y_M|=6，
∴y_M=±4．
當(dāng)y=4時(shí)，x²+5x+4=4，
解得：x₁=-5，x₂=0，
此時(shí)點(diǎn)M（-5，4），（0，4）；
當(dāng)y=-4時(shí)，x²+5x+4=-4，
△=5²-4×8=-7＜0，
此時(shí)無解．
∵∠MAB為銳角，
∴M（0，4）．
設(shè)直線AM的解析式為y=kx+4，
將（-4，0）代入y=kx+4中，
得：0=-4k+4，解得：k=1，
∴直線AM的解析式為y=x+4．
（3）延長AP交y軸于點(diǎn)C，如圖所示．
∵A（-4，0），M（0，4），
∴∠MAO=45°，
∵AP⊥AM，
∴∠CAO=45°，
∴C（0，-4），直線AC的解析式為y=-x-4．
聯(lián)立直線AC與拋物線解析式成方程組得：$\left\{\begin{array}{l}{y=-x-4}\\{y={x}^{2}+5x+4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=-2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-4}\\{y=0}\end{array}\right.$（舍去），
∴P（-2，-2）．
∵A（-4，0），M（0，4），B（-1，0），
∴AM=4$\sqrt{2}$，AB=3，AP=2$\sqrt{2}$．
假設(shè)存在符合題意的點(diǎn)Q，設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（n，0），則AQ=|n+4|．
∵∠PAQ=∠BAM=45°，
∴AQ=n+4，以A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABM相似分兩種情況：
①當(dāng)△APQ∽△AMB時(shí)，有$\frac{AP}{AM}=\frac{AQ}{AB}$，
即$\frac{2\sqrt{2}}{4\sqrt{2}}=\frac{n+4}{3}$，解得：n=-$\frac{5}{2}$，
此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（-$\frac{5}{2}$，0）；
②當(dāng)△AQP∽△AMB時(shí)，有$\frac{AQ}{AM}=\frac{AP}{AB}$，
即$\frac{n+4}{4\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$，解得：n=$\frac{4}{3}$，
此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（$\frac{4}{3}$，0）．
綜上可知：在x軸上存在一點(diǎn)Q，使得以A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABM相似，點(diǎn)Q的坐標(biāo)（-$\frac{5}{2}$，0）或（$\frac{4}{3}$，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、根與系數(shù)的關(guān)系、根的判別式以及相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）利用根與系數(shù)的關(guān)系找出關(guān)于m的一元二次方程；（2）求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；（3）分兩種情況考慮．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)找出邊與邊之間的關(guān)系是關(guān)鍵．