Question

14．證明：四個(gè)連續(xù)整數(shù)的積再加上1，必是完全平方數(shù)．

Answer 1

分析 首先設(shè)最小的整數(shù)為x，那么四個(gè)連續(xù)整數(shù)的積再加上1就可以表示為x（x+1）（x+2）（x+3）+1，去括號(hào)，化簡，再進(jìn)行因式分解，得（x²+3x+1）²，所以四個(gè)連續(xù)整數(shù)的積再加上1，必是完全平方數(shù)．

解答 證明：設(shè)最小的整數(shù)為x，則另外三個(gè)連續(xù)的整數(shù)分別為：x+1、x+2、x+3，
則x（x+1）（x+2）（x+3）+1，
=[x（x+3）][（x+1）（x+2）]+1，
=（x²+3x）（x²+3x+2）+1，
=（x²+3x）+2（x²+3x）+1，
=（x²+3x+1）²，
∴四個(gè)連續(xù)整數(shù)的積再加上1，必是完全平方數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了完全平方數(shù)，熟練掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵：（a+b）²=a²+2ab+b²，其次是理解完全平方式的特征：①有兩項(xiàng)是兩個(gè)數(shù)（或整式）的平方，都為正；②中間一項(xiàng)是兩項(xiàng)積的2倍；其符號(hào)可以正，也可以是負(fù)．