Question

18．已知拋物線y=$\frac{1}{8}$x²-$\frac{1}{4}$x-1與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)）與y軸交于點(diǎn)C
（1）求拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）求△ABC外接圓的圓心Q的坐標(biāo)；
（3）在拋物線的對(duì)稱軸上一定存在點(diǎn)P，使得∠APB=∠ACB，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）令x=0得y=-1，從而得到點(diǎn)C的坐標(biāo)，令y=0得：$\frac{1}{8}$x²-$\frac{1}{4}$x-1=0，求得方程的解，從而得到點(diǎn)A與點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）過AB的中點(diǎn)，作直線l⊥AB，則點(diǎn)Q在直線l上．設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1，a）．因?yàn)镼A=QC依據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式列出關(guān)于a的方程可求得a的值，從而的點(diǎn)點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（3）作△ABC的外接圓Q．過圓心Q作QD⊥AB交圓Q與點(diǎn)P，作點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)P′．由圓周角定理可知∠ACB=∠APB，接下來依據(jù)勾股定理可求得AQ的長(zhǎng)，由點(diǎn)Q的坐標(biāo)以及QP的長(zhǎng)可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)，依據(jù)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)可求得點(diǎn)P′的坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵令x=0得y=-1，
∴C（0，-1）．
∵令y=0得：$\frac{1}{8}$x²-$\frac{1}{4}$x-1=0，整理得：x²-2x-8=0，解得x=4或x=-2，
∴A（-2，0）、B（4，0）．
（2）如圖1所示：過AB的中點(diǎn)，作直線l⊥AB，則點(diǎn)Q在直線l上．

∵A（-2，0）、B（4，0），
∴點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為1．
設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1，a）．
∵Q是△ABC的外接圓的圓心，
∴QA=QC．
∴$\sqrt{{3}^{2}+{a}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+（a+1）^{2}}$，解得：a=3.5．
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1，3.5）．
（3）如圖2所示：作△ABC的外接圓Q．過圓心Q作QD⊥AB交圓Q與點(diǎn)P，作點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)P′．

由圓周角定理可知∠ACB=∠APB．
由（2）可知QD=3.5，AD=3．
在Rt△ADQ中，由勾股定理可知：AQ=$\sqrt{{3}^{2}+3．{5}^{2}}$=$\frac{\sqrt{85}}{2}$
∵AQ=QP，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，-$\frac{\sqrt{85}-7}{2}$）．
∵點(diǎn)P與點(diǎn)P′關(guān)于x軸對(duì)稱，
∴∠AP′B=∠APB=∠ACB，P′（1，$\frac{\sqrt{85}-7}{2}$）．
綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，-$\frac{\sqrt{85}-7}{2}$）或P′（1，$\frac{\sqrt{85}-7}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了外角形的外接圓的性質(zhì)、圓周角定理、勾股定理、兩點(diǎn)間的距離公式、軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)，掌握本題的輔助線的做法是解題的關(guān)鍵．