Question

6．已知方程6x²-12x+1=0的兩根為x₁與x₂，不解方程，求下列代數(shù)式的值．
（1）$\frac{1}{{{x}_{1}}^{2}}$+$\frac{1}{{{x}_{2}}^{2}}$；
（2）（x₂-x₁）²．

Answer 1

分析 根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出“x₁+x₂=-$\frac{a}$=2，x₁•x₂=$\frac{1}{6}$，
（1）將$\frac{1}{{{x}_{1}}^{2}}$+$\frac{1}{{{x}_{2}}^{2}}$轉(zhuǎn)化成$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-2{x}_{1}{x}_{2}}{{{x}_{1}}^{2}{{x}_{2}}^{2}}$，代入數(shù)據(jù)即可得出結(jié)論；
利用完全平方公式，將（x₂-x₁）²轉(zhuǎn)化成（x₁+x₂）²-4x₁•x₂，代入數(shù)據(jù)即可得出結(jié)論．

解答 解：∵x₁+x₂=-$\frac{a}$=2，x₁•x₂=$\frac{1}{6}$，
（1）$\frac{1}{{{x}_{1}}^{2}}$+$\frac{1}{{{x}_{2}}^{2}}$=$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-2{x}_{1}{x}_{2}}{{{x}_{1}}^{2}{{x}_{2}}^{2}}$=$\frac{4-\frac{1}{3}}{\frac{1}{36}}$=132；
（2）（x₂-x₁）²=（x₁+x₂）²-4x₁•x₂=4-$\frac{2}{3}$=$\frac{10}{3}$．

點評 本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系以及完全平方公式，解決該題型題目時，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系找出兩根之和與兩根之積，再利用完全平方公式將原代數(shù)式轉(zhuǎn)化成只含兩根之和與兩根之積的代數(shù)式是關(guān)鍵．