Question

10．如圖，已知：在△ABC中，∠ACB=90°，點P是線段AC上一點，過點A作AB的垂線，交BP的延長線于點M，MN⊥AC于點N，PQ⊥AB于點Q，AQ=MN，NP=2，PC=3．
（1）求證：PC=AN；
（2）求BC的長；
（3）在直線BM上有一動點G，當CG+QG最短時，求BG的長度．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)ASA證明△AQP≌△MNA，AN=PQ；然后推出BP為角平分線，利用角平分線的性質(zhì)得到PC=PQ；從而得到PC=AN．
（2）思想證明BC=BQ，設(shè)BC=BQ=x，在Rt△ABC中，根據(jù)AB²=AC²+BC²，列出方程即可解決問題．
（3）如圖連接CQ交BM于G，此時GQ+GC的值最小．根據(jù)勾股定理求出PB，再根據(jù)S_△PBC=$\frac{1}{2}$•BC•PC=$\frac{1}{2}$•PB•CG，求出CG，利用勾股定理求出BG即可．

解答 證明：（1）∵BA⊥AM，MN⊥AC，
∴∠BAM=∠ANM=90°，
∴∠PAQ+∠MAN=∠MAN+∠AMN=90°，
∴∠PAQ=∠AMN，
∵PQ⊥AB  MN⊥AC，
∴∠PQA=∠ANM=90°，
在△PQA與△ANM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PAQ=∠AMN}\\{AQ=MN}\\{∠AQP=∠ANM}\end{array}\right.$，
∴△PQA≌△ANM，
∴AN=PQ  AM=AP，
∴∠AMB=∠APM
∵∠APM=∠BPC，∠BPC+∠PBC=90°，∠AMB+∠ABM=90°，
∴∠ABM=∠PBC
∵PQ⊥AB，PC⊥BC
∴PQ=PC（角平分線的性質(zhì)），
∴PC=AN．

（2）∵NP=2，PC=AN=3，
∴AP=AM=5，
在Rt△ANM中，NM=$\sqrt{A{M}^{2}-A{N}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
∴AQ=MN=4，
在Rt△BPQ和Rt△BPC中，
$\left\{\begin{array}{l}{BP=BP}\\{PQ=PC}\end{array}\right.$，
∴△BPQ≌△BPC，
∴BC=BQ，設(shè)BC=BQ=x，
在Rt△ABC中，∵AB²=AC²+BC²，
∴（x+4）²=8²+x²，
∴x=6，
∴BC=6．

（3）如圖連接CQ交BM于G，此時GQ+GC的值最�。�
∵BC=BQ，PC=PQ，
∴PB垂直平分CQ，
在Rt△BCP中，PB=$\sqrt{B{C}^{2}+P{C}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{5}$，
∵S_△PBC=$\frac{1}{2}$•BC•PC=$\frac{1}{2}$•PB•CG，
∴CG=$\frac{6×3}{3\sqrt{5}}$=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，
∴BG=$\sqrt{B{C}^{2}-C{G}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}-（\frac{6\sqrt{5}}{5}）^{2}}$=$\frac{12\sqrt{5}}{5}$．

點評 本題是考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線性質(zhì)等重要知識點，解題時，需要認真分析題意，以圖形的全等為主線尋找解題思路，學會要面積法求高．屬于中考常考題型．