Question

如圖，C、D是以AB為直徑的半圓上的兩個點（不與A、B重合），連接DC、AC、DB，AC與BD交于點P，若∠APD=α，則

CD

AB

=

 

．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì),圓周角定理

專題：

分析：連接AD．根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，得∠ADB=90°；根據(jù)兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似得△APB∽△DPC，則PD：PA=CD：AB，再根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求得cos∠APD的值即為CD：AB的值．

解答：解：連接AD．
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°（直徑所對的圓周角是直角）．
∵∠BAP=∠CDP（同弧所對的圓周角相等），∠APB=∠DPC（對頂角相等），
∴△APB∽△DPC，
∴PD：PA=CD：AB（相似三角形的對應(yīng)邊成比例），
∴

CD

AB

=

DP

PA

=cos∠α，
故答案為：cos∠α．

點評：此題綜合運用了圓周角定理的推論、相似三角形的判定和性質(zhì)、以及銳角三角函數(shù)的概念．解答該題的關(guān)鍵是通過作輔助線AD構(gòu)建直角三角形ABD，在直角三角形中利用銳角三角函數(shù)的定義求cos∠APD的值．