Question

如圖，已知Rt△ABC，∠C為直角，請(qǐng)你用尺規(guī)，按下列要求作圖和計(jì)算（不必寫(xiě)畫(huà)法，但保留作圖痕跡）
（1）以AC為一邊作等邊△ACD；
（2）若設(shè)∠A=30°，BC=6，求BD的長(zhǎng)．（簡(jiǎn)單寫(xiě)出解答過(guò)程即可）

Answer 1

考點(diǎn)：作圖—復(fù)雜作圖,角平分線(xiàn)的性質(zhì),勾股定理

專(zhuān)題：

分析：（1）分別以A、C為圓心，以AC長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，相交于點(diǎn)D，連接AD、CD則△ACD即為所求作的等邊三角形；
（2）根據(jù)30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求出AB的長(zhǎng)度，再利用勾股定理求出AC的長(zhǎng)度，然后分兩種情況：①點(diǎn)D在AC的下方時(shí)，作DE⊥BC交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，求出DE、CE的長(zhǎng)度，然后求出BE的長(zhǎng)度，再利用勾股定理列式計(jì)算即可得解：；②點(diǎn)D在AC的上方時(shí)，求出∠BAD=30°，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AB⊥CD，再根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可得△ABD與△ABC關(guān)于AB成軸對(duì)稱(chēng)，根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)可得BD=BC．

解答：解：（1）如圖所示，△ACD為所求作的等邊三角形，點(diǎn)D在AC的上方與下方兩種情況；
（2）∵∠A=30°、BC=6，
∴AB=2BC=12，
根據(jù)勾股定理，AC=6

3

①點(diǎn)D在AC的下方時(shí)，作DE⊥BC交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，
則DE=

1

2

Ac=3

3

，CE=9
∴BE=BC+CE=6+9=15
在Rt△BDE中，BD²=DE²+BE²，
∵BD＞0
∴BD=6

7

；
②點(diǎn)D在AC的上方時(shí)，∵∠A=30°，
∴∠BAD=60°-30°=30°，
∴∠BAC=∠BAD，
∴AB⊥CD，
∴△ABD與△ABC關(guān)于AB成軸對(duì)稱(chēng)，
∴BD=BC，
∵BC=6，
∴BD=6；　　　　　　　　　　　　　
綜上所述，BD的長(zhǎng)度為故答案為：6

7

或6．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了復(fù)雜作圖，主要利用了過(guò)一點(diǎn)作已知直線(xiàn)的垂線(xiàn)，已知一邊作等邊三角形，都是基本作圖，（2）題要注意分點(diǎn)D在AC的上方與下方兩種情況討論求解．