Question

如圖，等邊△ABC的邊長(zhǎng)為6，面積為9

3

，AD是BC邊上的中線，M是AD上的動(dòng)點(diǎn)，E是AC邊上一點(diǎn)．若AE=3，則EM+CM的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：軸對(duì)稱-最短路線問題,等邊三角形的性質(zhì)

專題：

分析：要求EM+CM的最小值，需考慮通過作輔助線轉(zhuǎn)化EM，CM的值，從而找出其最小值求解．

解答：解：連接BE，與AD交于點(diǎn)M．
∵AD是BC邊上的中線，
∴AD⊥BC，
∴AD是BC的垂直平分線，
∴B、C關(guān)于AD對(duì)稱，
∴BE就是EM+CM的最小值．
取CE中點(diǎn)F，連接DF．
∵等邊△ABC的邊長(zhǎng)為6，面積為9

3

，
∴AD=3

3

∵AE=2，
∴CE=AC-AE=6-2=4，
∴CF=EF=AE=2，
又∵AD是BC邊上的中線，
∴DF是△BCE的中位線，
∴BE=2DF，BE∥DF，
又∵E為AF的中點(diǎn)，
∴M為AD的中點(diǎn)，
∴ME是△ADF的中位線，
∴DF=2ME，
∴BE=2DF=4ME，
∴BM=BE-ME=4ME-ME=3ME，
∴BE=

4

3

BM．
在直角△BDM中，BD=

1

2

BC=3，DM=

1

2

AD=

3 3

2

，
∴BM=

BD2+DM2

=

3

2

7

，
∴BE=

4

3

BM=2

7

．
∵EM+CM=BE
∴EM+CM的最小值為2

7

．
故答案為2

7

．

點(diǎn)評(píng)：考查等邊三角形的性質(zhì)和軸對(duì)稱及勾股定理等知識(shí)的綜合應(yīng)用，熟練掌握和運(yùn)用等邊三角形的性質(zhì)以及軸對(duì)稱的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．