Question

20．如圖①所示的圖形像我們常見(jiàn)的學(xué)習(xí)用品-圓規(guī)，我們不妨把這樣的圖形叫做“規(guī)形圖”，那么在這樣一個(gè)簡(jiǎn)單的圖形中，到底隱藏了哪些數(shù)學(xué)知識(shí)呢？下面就請(qǐng)你發(fā)揮聰明才智，解決以下問(wèn)題：
（1）觀察“規(guī)形圖”，試探究∠BDC與∠A、∠B、∠C之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（2）請(qǐng)你直接利用以上結(jié)論，解決以下三個(gè)問(wèn)題：
①如圖②，把一塊三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的兩條直角邊XY、XZ恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)B、C，若∠A=50°，則∠ABX+∠ACX=40°；
②如圖③，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE=50°，∠DBE=130°，求∠DCE的度數(shù)；
③如圖①，∠ABD、∠ACD的10等分線分別相交于點(diǎn)G₁、G₂、…、G₉，若∠BDC=140°，∠BG₁C=77°，求∠A的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意觀察圖形連接AD并延長(zhǎng)至點(diǎn)F，由外角定理可知，一個(gè)三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，則容易得到∠BDC=∠BDF+∠CDF；
（2）①由（1）的結(jié)論可得∠ABX+∠ACX+∠A=∠BXC，然后把∠A=50°，∠BXC=90°代入上式即可得到∠ABX+∠ACX的值．
②結(jié)合圖形可得∠DBE=∠DAE+∠ADB+∠AEB，代入∠DAE=50°，∠DBE=130°即可得到∠ADB+∠AEB的值，再利用上面得出的結(jié)論可知∠DCE=$\frac{1}{2}$（∠ADB+∠AEB）+∠A，易得答案．
③由（2）的方法，進(jìn)而可得答案．

解答 解：（1）連接AD并延長(zhǎng)至點(diǎn)F，
由外角定理可得∠BDF=∠BAD+∠B，∠CDF=∠C+∠CAD；
且∠BDC=∠BDF+∠CDF及∠BAC=∠BAD+∠CAD；
相加可得∠BDC=∠A+∠B+∠C；

（2）①由（1）的結(jié)論易得：∠ABX+∠ACX+∠A=∠BXC，
又因?yàn)椤螦=50°，∠BXC=90°，
所以∠ABX+∠ACX=90°-50°=40°；
故答案是：40；

②由（1）的結(jié)論易得∠DBE=∠A+∠ADB+∠AEB，易得∠ADB+∠AEB=80°；
而∠DCE=$\frac{1}{2}$（∠ADB+∠AEB）+∠A，
代入∠DAE=50°，∠DBE=130°，易得∠DCE=90°；

③∠BG₁C═$\frac{1}{10}$（∠ABD+∠ACD）+∠A，
∵∠BG₁C=77°，
∴設(shè)∠A為x°，
∵∠ABD+∠ACD=140°-x°
∴$\frac{1}{10}$（140-x）+x=77，
14-$\frac{1}{10}$x+x=77，
x=70
∴∠A為70°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形外角的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，能求出∠BDC=∠A+∠B+∠C是解答的關(guān)鍵，注意：三角形的內(nèi)角和等于180°，三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．