Question

如圖，△ABC中，∠A=90°，A點坐標(biāo)為（2，3），AB∥x軸，AC∥y軸，且 AB、AC的長是方程x²-5x+6=0的兩個根，AB＞AC．
（1）求BC的長；
（2）將△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ADE（點B、點C的對應(yīng)點分別為點D、點E），請在圖中畫出△ADE，并直接寫出D、E兩點的坐標(biāo)．
（3）在y軸上是否存在點P，使△PDE為等腰三角形？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：幾何變換綜合題

專題：

分析：（1）先求出x的值，再根據(jù)勾股定理即可得出BC的長；
（2）根據(jù)圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)畫出△ADE，并直接寫出D、E兩點的坐標(biāo)即可；
（3）由于等腰三角形的頂點不能確定，故應(yīng)分DE為腰長和DE為底兩種情況進行討論．

解答：解：（1）∵x²-5x+6=0，
∴（x-2）（x-3）=0，
∴x₁=2；x₂=3．
∵∠A=90°，
∴BC=

AC2+AB2

=

32+22

=

13

；

（2）如圖所示，D（2，0），E（4，3）；

（3）以點D為頂角的頂點，DE為腰長，P₁（0，3）；以DE為底，P₂（0，3.5）．  
理由如下：設(shè)OP=x
∵PK為DE的垂直平分線，
∴PD=PE．
在Rt△POD和Rt△PHE中，
∵PD²=OP²+OD²=x²+2²，PE²=PH²+HE²=（x-3）²+4²
∴x²+2²=（x-3）²+4²，
∴x=3.5，
∴P₂（0，3.5）．

點評：本題考查的是幾何變換綜合題，涉及到勾股定理及圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，難度適中．