Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，⊙A的半徑為1，圓心A點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，-2）直線OM是一次函數(shù)y=x的圖象，讓⊙A沿y軸正方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度移動(dòng)，移動(dòng)時(shí)間為t．
（1）填空：
①直線OM與x軸所夾的銳角度數(shù)為

 

°
②當(dāng)t=

 

時(shí)，⊙A與坐標(biāo)軸有兩個(gè)公共點(diǎn)
（2）當(dāng)t＞3時(shí)，求出運(yùn)動(dòng)過(guò)程中⊙A與直線OM相切時(shí)t的值，
（3）運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)⊙A與直線OM相交所得的弦長(zhǎng)為1時(shí)，求t的值．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專(zhuān)題：綜合題

分析：（1）①利用直線y=x上點(diǎn)的坐標(biāo)特征易得直線y=x為第一、三象限的角平分線，則直線OM與x軸所夾的銳角度數(shù)為45°；
②根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系得到⊙A沿y軸正方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，⊙A始終與y軸相切，所以當(dāng)⊙A與x軸相切或點(diǎn)A在x軸上時(shí)，⊙A與坐標(biāo)軸有兩個(gè)公共點(diǎn)，易得t=1或t=2或t=3；
（2）作AB⊥y軸于B，AC⊥直線OM于C，AH⊥x軸于H，交直線OM于P，如圖1，OB=t-2，AB=AC=1，OH=1，先判斷△OPH和△APC都是等腰直角三角形，則PH=OH=1，AP=

2

AC=

2

，得到AH=AP+PH=

2

+1，然后利用AH=OB得到方程t-2=

2

+1，再解一次方程即可；
（3）分類(lèi)討論：當(dāng)點(diǎn)A在x軸下方，如圖2，作AB⊥y軸于B，AC⊥直線OM于C，交x軸于Q，AH⊥x軸于H，⊙A與直線OM交于E、F，AB=OH=1，AE=AF=1，OB=AH=2-t，先得到△AEF為等邊三角形，則AC=

3

2

AE=

3

2

，與（2）一樣可得△OCQ和△AHQ都是等腰直角三角形，則HG=AH=2-t，所以O(shè)Q=OH-HQ=t-1，AQ=

2

（2-t），于是得到CQ=

2

2

OQ=

2

2

（t-1），利用AC=CQ+AQ得到方程

2

2

（t-1）+

2

（2-t）=

3

2

，再解方程即可；當(dāng)點(diǎn)A在x軸上方，如圖3，作AB⊥y軸于B，AC⊥直線OM于C，AH⊥x軸于H，交直線OM于Q，⊙A與直線OM交于E、F，則AB=OH=1，AE=AF=1，OB=AH=t-2，同樣可得△AEF為等邊三角形，AC=

3

2

，△ACQ和△OHQ都是等腰直角三角形，則HQ=OH=1，AQ=

2

AC=

2

•

3

2

=

6

2

，然后利用AH=HQ+AQ得到方程t-2=1+

6

2

，再方程求出t即可．

解答：解：（1）①∵直線y=x上點(diǎn)到x軸和y軸的距離相等，
∴直線y=x為第一、三象限的角平分線，
∴直線OM與x軸所夾的銳角度數(shù)為45°；
②∵⊙A的半徑為1，圓心A點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，-2），
∴⊙A沿y軸正方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，⊙A始終與y軸相切，
當(dāng)⊙A與x軸相切或點(diǎn)A在x軸上時(shí)，⊙A與坐標(biāo)軸有兩個(gè)公共點(diǎn)，
⊙A與x軸相切，則點(diǎn)A與x軸的距離為1，得到t=1或3；當(dāng)點(diǎn)A在x軸上，則t=2；
所以t=1s或t=2或t=3；
故答案為45，1s或2s或3s；
（2）作AB⊥y軸于B，AC⊥直線OM于C，AH⊥x軸于H，交直線OM于P，如圖1，
則OB=t-2，AB=AC=1，OH=1，
∵直線OM與x軸所夾的銳角度數(shù)為45°，
∴∠POH=45°，
∴∠OPH=45°，
∴∠APC=45°，
∴△OPH和△APC都是等腰直角三角形，
∴PH=OH=1，AP=

2

AC=

2

，
∴AH=AP+PH=

2

+1，
而AH=OB，
∴t-2=

2

+1，
∴t=3+

2

；
（3）當(dāng)點(diǎn)A在x軸下方，如圖2，作AB⊥y軸于B，AC⊥直線OM于C，交x軸于Q，AH⊥x軸于H，⊙A與直線OM交于E、F，
則AB=OH=1，AE=AF=1，OB=AH=2-t，
∵EF=1，
∴△AEF為等邊三角形，
∴AC=

3

2

AE=

3

2

，
∵直線OM與x軸所夾的銳角度數(shù)為45°，
∴∠COH=45°，
與（2）一樣可得△OCQ和△AHQ都是等腰直角三角形，
∴HQ=AH=2-t，
∴OQ=OH-HQ=t-1，AQ=

2

（2-t），
∴CQ=

2

2

OQ=

2

2

（t-1），
∵AC=CQ+AQ，
∴

2

2

（t-1）+

2

（2-t）=

3

2

，解得t=3-

6

2

；
當(dāng)點(diǎn)A在x軸上方，如圖3，作AB⊥y軸于B，AC⊥直線OM于C，AH⊥x軸于H，交直線OM于Q，⊙A與直線OM交于E、F，
則AB=OH=1，AE=AF=1，OB=AH=t-2，
與前面一樣可得△AEF為等邊三角形，AC=

3

2

，△ACQ和△OHQ都是等腰直角三角形，
∵HQ=OH=1，AQ=

2

AC=

2

•

3

2

=

6

2

，
∵AH=HQ+AQ，
∴t-2=1+

6

2

，得t=3+

6

2

，
綜上所述，t的值為3-

6

2

或3+

6

2

．

點(diǎn)評(píng)：本同考查了圓的綜合題：熟練掌握切線的性質(zhì)、垂徑定理、等邊三角形的判定與性質(zhì)和等腰直角三角形的判定與性質(zhì)；會(huì)運(yùn)用分類(lèi)討論的思想解決數(shù)學(xué)問(wèn)題；學(xué)會(huì)解決動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題．