Question

3．如圖，拋物線y=$\frac{1}{2}$x²+mx+n與直線y=-$\frac{1}{2}$x+3交于A，B兩點，交x軸于D，C兩點，連接AC，BC，已知A（0，3），B（4，1）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求tan∠BAC的值；
（3）P為y軸右側(cè)拋物線上一動點，連接PA，過點P作PQ⊥PA交y軸于點Q，問：是否存在點P使得以A，P，Q為頂點的三角形與△ACB相似？若存在，請求出所有符合條件的點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）將點A、B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得到關(guān)于m、n的方程組，從而可求得m、n；
（2）過點B作BH⊥OH，先求得點C的坐標(biāo)，然后再證明△AOC和△BHC為等腰直角三角形，從而可求得∠ACB=90°，然后依據(jù)勾股定理可求得AC、BC的長，最后依據(jù)銳角三角函數(shù)的定義可求得答案．
（3）過點P作PG⊥OA，當(dāng)G在點A的下方時，分為∠PAQ=∠CAB和∠PAQ=∠CBA兩種情況，當(dāng)點G在點A的上方，分為∠PAQ=∠CAB和∠PAQ=∠CBA兩情況分類計算即可．

解答 解：（1）∵把A（0，3），B（4，1）代入y=$\frac{1}{2}$x²+mx+n得$\left\{\begin{array}{l}{n=3}\\{8+4m+n=1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{n=3}\\{m=-\frac{5}{2}}\end{array}\right.$．
∴拋物線的解析式為y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{5}{2}$x+3．
（2）過點B作BH⊥x軸于H，如圖1．

∵令y=0，得：$\frac{1}{2}$x²-$\frac{5}{2}$x+3=0，解得：x₁=2，x₂=3，
∴點C的坐標(biāo)為（3，0）．
∵B（4，1），
∴BH=1，OC=3，OH=4，CH=4-3=1，
∴BH=CH=1．
∵∠BHC=90°，
∴∠BCH=45°，BC=$\sqrt{2}$．
同理：∠ACO=45°，AC=3$\sqrt{2}$，
∴∠ACB=180°-45°-45°=90°，
∴tan∠BAC=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{\sqrt{2}}{3\sqrt{2}}$=$\frac{1}{3}$．
（3）存在點P，使得以A，P，Q為頂點的三角形與△ACB相似．
過點P作PG⊥y軸于G，則∠PGA=90°．
設(shè)點P的橫坐標(biāo)為x，由P在y軸右側(cè)可得x＞0，則PG=x．
∵PQ⊥PA，∠ACB=90°，
∴∠APQ=∠ACB=90°．
①如圖2①，當(dāng)∠PAQ=∠CAB時．

∵∠PGA=∠ACB=90°，∠PAQ=∠CAB，
∴△PGA∽△BCA．
∴$\frac{PG}{AG}=\frac{BC}{AC}$=$\frac{1}{3}$．
∴AG=3PG=3x．
∴P（x，3-3x）．
把P（x，3-3x）代入y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{5}{2}$x+3，得$\frac{1}{2}$x²-$\frac{5}{2}$x+3=3-3x，
整理得：x²+x=0
解得：x₁=0（舍去），x₂=-1（舍去）．
②如圖2②，當(dāng)∠PAQ=∠CBA時．過點P作PG⊥y軸，垂足為G．

∵∠PAG=∠CBA，∠PGA=∠ACB=90°，
∴△PAG∽△CBA．
同理可得：AG=$\frac{1}{3}$PG=$\frac{1}{3}$x，則P（x，3-$\frac{1}{3}$x），
把P（x，3-$\frac{1}{3}$x）代入y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{5}{2}$x+3，得$\frac{1}{2}$x²-$\frac{5}{2}$x+3=3-$\frac{1}{3}$x，
整理得：x²-$\frac{13}{3}$x=0
解得：x₁=0（舍去），x₂=$\frac{13}{3}$，
∴P（$\frac{13}{3}$，$\frac{14}{9}$）．
如圖③所示：當(dāng)∠PAQ=∠CAB時，過點P作PG⊥y垂足為G．

③∵∠PAG=∠CAB，∠PGA=∠ACB，
∴△PAG∽△CAB．
∴$\frac{PG}{AG}=\frac{BC}{AC}=\frac{1}{3}$．
∴AG=3PG=3x．
設(shè)P（x，3+3x）代入y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{5}{2}$x+3，得$\frac{1}{2}$x²-$\frac{5}{2}$x+3=3+3x，
整理得：$\frac{1}{2}$x²-$\frac{11}{2}x$=0．
解得：x₁=0（舍去），x₂=11．
∴P（11，36）．
④如圖④所示：當(dāng)∠PAQ=∠CBA時．過點P作PG⊥OA，垂足為G．

∵∠PAG=∠CBA，∠PGA=∠ACB=90°，
∴△PAG∽△CBA．
同理可得：AG=$\frac{1}{3}$PG=$\frac{1}{3}$x，則P（x，3+$\frac{1}{3}$x），
把P（x，3+$\frac{1}{3}$x）代入y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{5}{2}$x+3，得$\frac{1}{2}$x²-$\frac{5}{2}$x+3=3+$\frac{1}{3}$x，整理得：$\frac{1}{2}$x²$-\frac{17}{6}$x=0，
解得：x₁=0（舍去），x₂=$\frac{17}{3}$．
∴P的坐標(biāo)為P（$\frac{17}{3}$，$\frac{44}{9}$）．
綜上所述：滿足條件的點P的坐標(biāo)為（11，36）、（$\frac{13}{3}$，$\frac{14}{9}$）、（$\frac{17}{3}$，$\frac{44}{9}$）．

點評 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析、等腰直角三角形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)的定義、相似三角形的性質(zhì)和判定，解答本題主要應(yīng)用了分類討論的思想，依據(jù)相似三角形的性質(zhì)和二次函數(shù)的關(guān)系式，列出關(guān)于x的方程是解題的關(guān)鍵．