Question

10．如圖，AB∥CD，∠AEC=90°
（1）當(dāng)CE平分∠ACD時，求證：AE平分∠BAC；
（2）移動直角頂點E點，如圖，∠MCE=∠ECD，當(dāng)E點轉(zhuǎn)動時，問∠BAE與∠MCG是否存在確定的數(shù)量關(guān)系，并證明．（提示：可以作∠MCG的平分線）

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠BAE+∠CAE+∠DCE+∠ACE=180°，再由∠AEC=90°可知∠CAE+∠ACE=90°，故可得出∠BAE+∠DCE=90°，由CE平分∠ACD可知∠DCE=∠ACE，故∠ACE+∠BAE=90°，由此可得出結(jié)論；
（2）延長AE交DG于點F，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得出∠BAE=∠AFC，由∠AEC=90°可知∠CEF=90°，故可得出∠AFC+∠ECD=90°，再根據(jù)∠MCE=∠ECD，MCE+∠ECD=180°-∠MCG可得出結(jié)論．

解答 （1）證明：∵AB∥CD，
∴∠BAE+∠CAE+∠DCE+∠ACE=180°．
∵∠AEC=90°，
∴∠CAE+∠ACE=90°，
∴∠BAE+∠DCE=90°．
∵CE平分∠ACD，
∴∠DCE=∠ACE，
∴∠ACE+∠BAE=90°，
∴∠BAE=∠CAE，即AE平分∠BAC；

（2）∠BAE=$\frac{1}{2}$∠MCG．
證明：∵延長AE交DG于點F，
∵AB∥CD，
∴∠BAE=∠AFC．
∵∠AEC=90°，
∴∠CEF=90°，
∴∠AFC+∠ECD=90°．
∵∠MCE=∠ECD，MCE+∠ECD=180°-∠MCG，
∴∠BAE+$\frac{1}{2}$（180°-∠MCG）=90°，即∠BAE=$\frac{1}{2}$∠MCG．

點評 本題考查的是平行線的性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．