Question

7．如果，關(guān)于x的一元二次方程ax²+bx+c=0有兩個實數(shù)根，且其中一個根為另一個根的2倍，則稱這樣的方程為“倍根方程”
（1）判斷方程x²-x-2=0是否是“倍根方程”；
（2）若點(diǎn)（p，q）在反比例函數(shù)y=$\frac{2}{x}$的圖象上，那么關(guān)于x的一元二次方程px²+3x+q=0是否是“倍根方程”？請說明你的理由；
（3）若（x-2）（mx+n）-0是“倍根方程”，求證“4m²+5mn+n²=0．

Answer 1

分析 （1）解得方程的解后即可利用倍根方程的定義進(jìn)行判斷；
（2）根據(jù)點(diǎn)（p，q）在反比例函數(shù)y=$\frac{2}{x}$的圖象上得到pq=2，然后解方程px²+3x+q=0即可得到正確的結(jié)論；
（3）根據(jù)（x-2）（mx+n）=0是倍根方程，且x₁=2，x₂=-$\frac{n}{m}$得到$\frac{n}{m}$=-1，或$\frac{n}{m}$=-4，從而得到m+n=0，4m+n=0，進(jìn)而得到4m²+5mn+n²=（4m+n）（m+n）=0正確．

解答 解：（1）解方程x²-x-2=0得：x₁=2，x₂=-1，
∴方程x²-x-2=0不是倍根方程；

（2）關(guān)于x的一元二次方程px²+3x+q=0是“倍根方程”，
理由：∵點(diǎn)（p，q）在反比例函數(shù)y=$\frac{2}{x}$的圖象上，
∴pq=2，
解方程px²+3x+q=0得：x₁=-$\frac{1}{p}$，x₂=-$\frac{2}{p}$，
∴x₂=2x₁；

（3）∵（x-2）（mx+n）=0是倍根方程，且x₁=2，x₂=-$\frac{n}{m}$，
∴$\frac{n}{m}$=-1或$\frac{n}{m}$=-4，
∴m+n=0，4m+n=0，
∵4m²+5mn+n²=（4m+n）（m+n）=0．

點(diǎn)評 本題考查了一元二次方程的解，根與系數(shù)的關(guān)系，根的判別式，反比例函數(shù)圖形上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，正確的理解“倍根方程”的定義是解題的關(guān)鍵．