Question

9．如圖，點(diǎn)E為正方形ABCD邊AB上一點(diǎn)，點(diǎn)F在DE的延長(zhǎng)線(xiàn)上，AF=AB，AC與FD交于點(diǎn)G，∠FAB的角平分線(xiàn)交FG于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)D作HA的垂線(xiàn)交HA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)I，若AH=3AI，F(xiàn)H=2$\sqrt{2}$，則DG=$\frac{17}{4}$$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 如圖，作FM⊥AH于M，AN⊥DF于N．首先證明△AMF≌△DIA，推出FM=AI，再證明∠IHD=∠IDH=45°，由FH=2$\sqrt{2}$，推出FM=HM=2，AM=8，AF=2$\sqrt{17}$，想辦法求出AN、AE、DE即可解決問(wèn)題．

解答 解：如圖，作FM⊥AH于M，AN⊥DF于N．

∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∵DI⊥AH，
∴∠I=90°，
∴∠HAE+∠IAD=90°，∠IAD+∠IDA=90°，
∴∠HAE=∠IDA=∠FAM，
在△AMF和△DIA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠M=∠I=90°}\\{∠FAM=∠IDA}\\{AF=AD}\end{array}\right.$，
∴△AMF≌△DIA，
∴FM=AI，
∵∠IHD=∠AFH+∠FAH，∠IDH=∠ADI+∠ADF，
∵AF=AD，
∴∠AFH=∠ADF，
∴∠IHD=∠IDH=45°，
∴∠FHM=∠IHD=∠MFH=45°，
∴FM=HM，
∵FH=2$\sqrt{2}$，
∴MF=MH=2，AH=3AI=3FM=6，
∴AM=8，AF=$\sqrt{A{M}^{2}+F{M}^{2}}$=2$\sqrt{17}$，
∵$\frac{1}{2}$•AH•FM=$\frac{1}{2}$•FH•AN，
AN=$\frac{AH•FM}{FH}$=3$\sqrt{2}$，
在Rt△ADN中，DN=$\sqrt{A{D}^{2}-A{N}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{17}）^{2}-（3\sqrt{2}）^{2}}$=5$\sqrt{2}$，
由cos∠ADN=$\frac{DN}{AD}$=$\frac{AD}{DE}$，得到DE=$\frac{34}{5}$$\sqrt{2}$，
∴AE=$\sqrt{A{N}^{2}+E{N}^{2}}$=$\frac{6}{5}$$\sqrt{17}$，
∵AE∥CD，
∴$\frac{DG}{GE}$=$\frac{CD}{AE}$，
∴$\frac{DG}{\frac{34}{5}\sqrt{2}-DG}$=$\frac{2\sqrt{17}}{\frac{6}{5}\sqrt{17}}$，
∴DG=$\frac{17}{4}$$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、等腰直角三角形的判定、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線(xiàn)，構(gòu)造全等三角形，學(xué)會(huì)利用面積法求高，屬于中考�？碱}型．