Question

13．如圖1，拋物線y=$\frac{3}{4}$x²+$\frac{15}{4}$x+3與x軸分別交于A、B兩點（A在B的左側），與y軸交于點C．
（1）求A、B、C三點的坐標；
（2）點D為線段AC上的一個動點（不與A、C兩點重合），在運動的過程中，將△ADO以x軸為對稱軸翻折，得到點D的對應點為E．
求：當點D的坐標為多少時，點E恰好落在拋物線的圖象上？并判斷此時的四邊形AEOD是否為菱形？請說明理由．
（3）若點M（m，n）為拋物線上的動點，過點M作y軸的垂線，垂足為N，連接MC，則當m為何值時，△MCN和△AOC相似？請直接寫出m的值（與△AOC重合的除外）．

Answer 1

分析 （1）根據自變量與函數值的對應關系，當x=0時，可得C點坐標，當y=0時，可得A、B點坐標；
（2）根據待定系數法，可得AC的解析式，根據函數解析式，可得D點坐標，根據D、E關于x軸對稱，可得E點坐標，根據E點坐標在拋物線上，可得關于a的方程，根據解方程，可得D點坐標，根據四條邊都相等的四邊形是菱形，可得答案；
（3）根據相似三角形的性質，可得方程，根據解方程，可得答案．

解答 解：（1）當y=0時，$\frac{3}{4}$x²+$\frac{15}{4}$x+3=0，解得x₁=-4，x₂=-1，即A（-4，0），B（-1，0），
當x=0時，y=3，即C（0，3）；
（2）設AC的解析式為y=kx+b，將A、C坐標代入，得
$\left\{\begin{array}{l}{-4k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{3}{4}}\\{b=3}\end{array}\right.$．
AC的解析式為y=$\frac{3}{4}$x+3，
設D（a，$\frac{3}{4}$a+3），由D、E關于x軸對稱，得E（a，-$\frac{3}{4}$a-3）．
把E點坐標代入拋物線，得$\frac{3}{4}$a²+$\frac{15}{4}$a+3=-$\frac{3}{4}$a-3．
解得a=-2，a=-4（不符合題意要舍去），
D（-2，$\frac{3}{2}$）．
四邊形AEDO是菱形，理由如下：
∵△ADO與△AEO關于x軸對稱，
∴AD=AE，DO=EO，
∵DE是AO的垂直平分線，
∴AD=DO．
∴AD=AE=DO=EO，
∴四邊形AEDO是菱形；
（3）如圖：

△MNC∽△AOC時，$\frac{MN}{AO}$=$\frac{CN}{CO}$．
當m＞0時，$\frac{m}{4}$=$\frac{\frac{3}{4}{m}^{2}+\frac{15}{4}m}{3}$，
解得m=0（不符合題意要舍去）或m=-12（不符合題意要舍去）；
當-1＜m＜0時，$\frac{m}{4}$=$\frac{-\frac{3}{4}{m}^{2}-\frac{15}{4}m}{3}$，解得m=0（不符合題意要舍去）m=-6（不符合題意要舍去）；
當-4＜m＜-1時，$\frac{m}{4}$=$\frac{-\frac{3}{4}{m}^{2}-\frac{15}{4}m}{3}$，解得m=0（不符合題意要舍去）m=-6（不符合題意要舍去）；
當m＜-4時，$\frac{m}{4}$=$\frac{\frac{3}{4}{m}^{2}+\frac{15}{4}m}{3}$，
解得m=0（不符合題意要舍去）或m=-12；
綜上所述：m=-12時，△MNC∽△AOC．

點評 本題考查了二次函數綜合題，（1）利用了自變量與函數值的對應關系；（2）利用了軸對稱的性質，菱形的判定；（3）利用了相似三角形的性質，分類討論是解題關鍵．