Question

8．如圖1，在圓O中，弦AB和弦CD相交于點(diǎn)M．
（1）求證：$\frac{CM}{AM}=\frac{BM}{DM}$；
（2）若如圖2中AB=CD，連接AD，OM并交于點(diǎn)E，則OM與AD有什么關(guān)系？請給出結(jié)論并證明．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)AC和BD，證明△AMC∽△DMB，問題即可得證；
（2）連結(jié)AO和DO，根據(jù)圓心角和圓周角定理即可證得結(jié)論．

解答 （1）證明：如圖1，連結(jié)AC和BD，
∵∠CAM=∠BDM，
∵∠AMC=∠DMB，
∴△AMC∽△DMB，
∴$\frac{DM}{AM}=\frac{BM}{CM}$，
∴$\frac{CM}{AM}=\frac{BM}{DM}$；

（2）OM與AD關(guān)系是OM垂直平分AD，
證：如圖2，連結(jié)AO和DO，
∵AB=CD，
∴$\widehat{AB}$=$\widehat{CD}$，
∴$\widehat{AB}$-$\widehat{BC}$=$\widehat{CD}$-$\widehat{BC}$，即$\widehat{AC}$=$\widehat{BD}$，
∴∠BAD=∠CDA，
∴AM=DM，
∴M在AD的中垂線上，
∵AO=DO，
∴O在AD的中垂線上，
∴OM垂直平分AD．

點(diǎn)評 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，圓心角定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．