Question

2．如圖，在直角坐標系xOy中，一次函數(shù)y₁=k₁x+b的圖象與反比例函數(shù)y₂=$\frac{{k}_{2}}{x}$的圖象交于A（1，4），B（3，m）兩點．
（1）求一次函數(shù)的解析式；
（2）結(jié)合圖象，在x＞0的范圍內(nèi)，談論y₁與y₂的大小關(guān)系；
（3）求△AOB的面積．

Answer 1

分析 （1）把A點坐標代入y₂=$\frac{{k}_{2}}{x}$，求得反比例函數(shù)解析式，把x=3代入反比例函數(shù)解析式求出m的值，得到點B的坐標，把A，B坐標代入一次函數(shù)即可求得解析式；
（2）已知A、B兩點的坐標，觀察圖象即可得到y(tǒng)₁與y₂的大小關(guān)系；
（3）設直線AB：y₁=-$\frac{4}{3}$x+$\frac{16}{3}$與x軸交于點C，令y=0，求得C點坐標，將△AOB的面積化為兩個三角形的面積之差．

解答 解：（1）∵點A（1，4）在反比例函數(shù)y₂=$\frac{{k}_{2}}{x}$的圖象上，
∴k₂=1×4=4，
∴反比例函數(shù)的解析式為：y₂=$\frac{4}{x}$．
∵B（3，m）在雙曲線y₂=$\frac{4}{x}$上，
∴m=$\frac{4}{3}$，
∴B（3，$\frac{4}{3}$）．
∵A（1，4）、B（3，$\frac{4}{3}$）在直線y₁=k₁x+b上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}+b=4}\\{3{k}_{1}+b=\frac{4}{3}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}=-\frac{4}{3}}\\{b=\frac{16}{3}}\end{array}\right.$，
故一次函數(shù)的解析式為：y₁=-$\frac{4}{3}$x+$\frac{16}{3}$；

（2）∵A（1，4）、B（3，$\frac{4}{3}$），
∴結(jié)合圖象可得：
①當x=1或x=3時，y₁=y₂；
②當0＜x＜1或x＞3時，y₁＜y₂；
③當1＜x＜3時，y₁＞y₂；

（3）設直線AB：y₁=-$\frac{4}{3}$x+$\frac{16}{3}$與x軸交于點C，
令y=0，得x=4，
所以C（4，0），
則S_△AOB=S_△AOC-S_△COB
=$\frac{1}{2}$×4×4-$\frac{1}{2}$×4×$\frac{4}{3}$
=8-$\frac{8}{3}$
=$\frac{16}{3}$．

點評 本題考查了反比例函數(shù)和一次函數(shù)的交點問題，以及用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式，三角形的面積，是基礎(chǔ)知識要熟練掌握．