Question

2．如圖1，在△ABC中，∠C=90°，AC=8厘米，BC=6厘米．動點P在線段AC上以5厘米/秒的速度從點A運動到點C．過點P作PD⊥AB于點D，將△APD繞PD的中點旋轉(zhuǎn)180°得到△A′DP．設(shè)點P的運動時間為x（秒）．
（1）求點A′落在邊BC上時x的值；
（2）設(shè)△A′DP和△ABC重疊部分圖形周長為y（厘米），求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）如圖2，另有一動點Q與點P同時出發(fā)，在線段BC上以5厘米/秒的速度從點B運動到點C．過點Q作QE⊥AB于點E，將△BQE繞QE的中點旋轉(zhuǎn)180°得到△B′EQ．
①求點A′在△B′EQ內(nèi)部時x的取值范圍；
②連接A′B′，當(dāng)直線A′B′與△ABC的邊垂直或平行時，直接寫出線段A′B′的長．

Answer 1

分析 （1）利用銳角三角函數(shù)的意義直接求出；
（2）由（1）計算可得，分兩種情況用銳角三角函數(shù)的意義求解：①當(dāng)0＜x≤$\frac{40}{41}$時，y=12x，當(dāng)$\frac{40}{41}$＜x≤$\frac{8}{5}$時，y=12-$\frac{3}{10}$x；
（3）①找出分界點Ⅰ、A′剛好到達(dá)B′E邊時，Ⅱ、A′到EQ邊與N重合，利用同一條線段兩種算法求出x值，即可；②利用銳角三角函數(shù)值用兩種算法列出方程求解即可．

解答 解：（1）如圖1，

∵∠C=90°，AC=8厘米，BC=6厘米，
∴AB=10，
∴cosA=$\frac{4}{5}$，sinA=$\frac{3}{5}$，tanA=$\frac{3}{4}$，
設(shè)AP=5x，
∴PA′=AD=APcos∠A=$\frac{4}{5}$×5x=4x，CP=8-5x，
∴cos∠CPA′=cos∠A=$\frac{CP}{PA′}$=$\frac{8-5x}{4x}$=$\frac{4}{5}$，
∴x=$\frac{40}{41}$，
（2）①當(dāng)0＜x≤$\frac{40}{41}$，如圖2，

∴PA′=AD=APcosA=3x，
∴A′D=AP=5x，
∴y=4x+3x+5x=12x，
②當(dāng)$\frac{40}{41}$＜x≤$\frac{8}{5}$時，如圖3

∴PE=$\frac{PC}{cosA}$=$\frac{80-50x}{8}$，
DF=DB×cosA=8-$\frac{16}{5}$x，
∴y=3x+$\frac{80-50x}{8}$+8-$\frac{16}{5}$x+$\frac{123}{20}$x-6=12-$\frac{3}{10}$x，
即：當(dāng)0＜x≤$\frac{40}{41}$時，y=12x，當(dāng)$\frac{40}{41}$＜x≤$\frac{8}{5}$時，y=12-$\frac{3}{10}$x；
（3）①同（1）一樣有，sinB=$\frac{4}{5}$，cosB=$\frac{3}{5}$，tanB=$\frac{4}{3}$，
Ⅰ、A′剛好到達(dá)B′E邊時，如圖4，

∴PN=$\frac{PC}{cosA}$=$\frac{80-50x}{8}$，PA′=4x，AN′=EB=3x，PN=PA′+A′N，
∴$\frac{80-50x}{8}$=7x，
∴x=$\frac{40}{53}$，
Ⅱ、A′到EQ邊與邊BC交于N，如圖5，

∴A′N=$\frac{QA′}{tanB}$=$\frac{QE-PD}{tanB}$=$\frac{3}{4}$x，PN=PA′+A′N=$\frac{80-50x}{8}$，
∴4x+$\frac{3}{4}$x=$\frac{80-50x}{8}$，
∴x=$\frac{10}{11}$，
∴$\frac{40}{53}$＜x＜$\frac{10}{11}$，
②Ⅰ、當(dāng)A′B′⊥AB時，如圖6，

∴DH=PA'=AD，HE=B′Q=EB，
∵AB=2AD+2EB=2×4x+2×3x=10，
∴x=$\frac{5}{7}$，
∴A′B′=QE-PD=x=$\frac{5}{7}$
Ⅱ、當(dāng)A′B′⊥BC時，如圖7，

∴B′E=5x，DE=10-7x，
∴cosB=$\frac{5x}{10-7x}$=$\frac{3}{5}$，
∴x=$\frac{15}{23}$，
∴A′B′=B′D-A′D=$\frac{25}{23}$，
Ⅲ、當(dāng)A′B′⊥AC時，如圖8，

由（1）有，x=$\frac{40}{53}$，
∴A′B′=PA′sinA=$\frac{50}{53}$，
Ⅳ、當(dāng)Q，P都到達(dá)C后，A′B′∥AB且AB=A′B′=10．如圖9，

點評 此題是幾何變換綜合題，主要考查了銳角三角函數(shù)的意義，分類討論，解本題的關(guān)鍵是要分類要分準(zhǔn)，難點是分類．