Question

2．已知正方形ABCD中，點(diǎn)M是邊CB（或CB的延長線）上任意一點(diǎn)，AN平分∠MAD，交射線DC于點(diǎn)N．
（1）如圖1，若點(diǎn)M在線段CB上
①依題意補(bǔ)全圖1；
②用等式表示線段AM，BM，DN之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；
（2）如圖2，若點(diǎn)M在線段CB的延長線上，請(qǐng)直接寫出線段AM，BM，DN之間的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）①根據(jù)題意可以將圖形補(bǔ)充完整；
②根據(jù)①中補(bǔ)充完整的圖形可以構(gòu)造兩個(gè)全等的三角形，從而可以得到線段AM，BM，DN之間的數(shù)量關(guān)系；
（2）寫出線段AM，BM，DN之間的數(shù)量關(guān)系，仿照（1）中②的證明方法可以證明．

解答 解：（1）①補(bǔ)全圖形，如右圖1所示．
②數(shù)量關(guān)系：AM=BM+DN，
證明：在CD的延長線上截取DE=BM，連接AE，
∵四邊形ABCD是正方形
∴∠1=∠B=90°，AD=AB，AB∥CD
∴∠6=∠BAN
在△ADE和△ABM中
$\left\{\begin{array}{l}AD=AB\\∠1=∠B\\ DE=BM\end{array}\right.$
∴△ADE≌△ABM（SAS）
∴AE=AM，∠3=∠2
又∵AN平分∠MAD，
∴∠5=∠4，
∴∠EAN=∠BAN，
又∵∠6=∠BAN，
∴∠EAN=∠6，
∴AE=NE，
又∵AE=AM，NE=DE+DN=BM+DN，
∴AM=BM+DN；
（2）數(shù)量關(guān)系：AM=DN-BM，
證明：在線段DC上截取線段DE=BM，如圖2所示，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠ABM=∠ADE=90°，
∴△ABM≌△ADE（SAS），
∴∠1=∠4，
又∵AN平分∠DAM，
∴∠MAN=∠DAN，
∴∠2=∠3，
∵AB∥CD，
∴∠2=∠ANE，
∴∠3=∠ANE，
∴AE=EN，
∵DN=DE+EN，AE=AM=EN，BM=DE，
∴DN=BM+AM，
即AM=DN-BM．

點(diǎn)評(píng) 本題考查四邊形綜合題，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，做出合適的輔助線，構(gòu)造全等的三角形．