Question

12．如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，點E在BC的延長線上，且CE=BC，AE=AB，AE、DC相交于點O，連接DE．
（1）求證：四邊形ACED是矩形；
（2）若∠AOD=120°，AC=4，求對角線CD的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出AD∥BC，AD=BC，AB=DC，求出AD=CE，AD∥CE，AE=DC，根據(jù)矩形的判定得出即可；
（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)得出OA=$\frac{1}{2}$AE，OC=$\frac{1}{2}$CD，AE=CD，求出OA=OC，求出△AOC是等邊三角形，即可得出答案．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，AD=BC，AB=DC，
∵CE=BC，
∴AD=CE，AD∥CE，
∴四邊形ACED是平行四邊形，
∵AB=DC，AE=AB，
∴AE=DC，
∴四邊形ACED是矩形；

（2）解：∵四邊形ACED是矩形，
∴OA=$\frac{1}{2}$AE，OC=$\frac{1}{2}$CD，AE=CD，
∴OA=OC，
∵∠AOC=180°-∠AOD=180°-120°=60°，
∴△AOC是等邊三角形，
∴OC=AC=4，
∴CD=8．

點評 本題考查了矩形的性質(zhì)和判定，平行四邊形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，能綜合運用定理進行推理是解此題的關(guān)鍵．