Question

7．綜合與實(shí)踐
問(wèn)題背景：
在一次綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以兩個(gè)全等的三角形紙片為操作對(duì)象，進(jìn)行相關(guān)問(wèn)題的研究．下面是創(chuàng)新小組在操作紙片過(guò)程中研究的問(wèn)題，請(qǐng)你解決這些問(wèn)題．
如圖1，△ABC≌△DEF，其中∠ACB=90°，BC=2，AB=4．
操作與發(fā)現(xiàn)：
（1）如圖2，創(chuàng)新小組將兩張三角形紙片按如圖示的方式放置后，經(jīng)過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)四邊形ACBF是矩形，請(qǐng)你證明這個(gè)結(jié)論．
操作與探究：
（2）創(chuàng)新小組在圖2的基礎(chǔ)上，將△DEF紙片沿AB方向平移至如圖3的位置，其中點(diǎn)E與AB的中點(diǎn)重合，連接CE，BF．經(jīng)過(guò)探究后發(fā)現(xiàn)四邊形BCEF是菱形．請(qǐng)你證明這個(gè)結(jié)論．
（3）創(chuàng)新小組在圖3的基礎(chǔ)上又進(jìn)行了探究，將△DEF紙片繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至DE與BC平行的位置，如圖4所示，連接AF，BF，創(chuàng)新小組經(jīng)過(guò)觀察與推理后發(fā)現(xiàn)四邊形ACBF是矩形．請(qǐng)你證明這個(gè)結(jié)論．
提出問(wèn)題：
（4）請(qǐng)你參照以上操作過(guò)程，利用圖1中的兩個(gè)三角形紙片，拼出新的圖形，在圖5中畫(huà)出這個(gè)圖形，標(biāo)明字母，說(shuō)明構(gòu)圖方法，并提出一個(gè)所要探究的問(wèn)題，不必解答．

Answer 1

分析 （1）利用平行四邊形的判斷方法先判斷出四邊形ACBF是平行四邊形，即可得出結(jié)論；
（2）先求出∠BAC=30°，再判斷出四邊形BCEF是平行四邊形，進(jìn)而判斷出BC=CE，即可得出結(jié)論；
（3）先求出∠ABC=60°，進(jìn)而判斷出△AEF是等邊三角形，即可判斷出四邊形ACBF是平行四邊形，即可得出結(jié)論；
（4）先根據(jù)平移設(shè)置題目，利用相似三角形，表示出FQ，利用面積相等建立方程求解即可．

解答 解：（1）∵△ABC≌△DEF，
∴AC=DF=BF，BC=EF=AF，
在四邊形ACBF中，AC=BF，BC=AF，
∴四邊形ACBF是平行四邊形，
∵∠ACB=90°，
∴?ACBF是矩形；

（2）在Rt△ABC中，sinA=$\frac{BC}{AB}=\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠BAC=30°，
∵△ABC≌△DEF與平移可知，BC=EF，BC∥EF，
∴四邊形BCEF是平行四邊形，
∵∠ACB=90°，
∴點(diǎn)E與AB的中點(diǎn)重合，∠BAC=30°，
∴BC=CE=$\frac{1}{2}$AB，在?BCEF中，
∵BC=CE，
∴?BCEF是菱形；

（3）在Rt△ABC中，∵∠BAC+∠ABC=90°，∠BAC=30°，
∴∠ABC=60°，
∵△ABC≌△DEF，點(diǎn)E是AB中點(diǎn)，
∠BAC=30°，
∴EF=AE=BC，∠DEF=60°，
∵DE∥BC，
∴∠BED=∠ABC=60°，
∴∠AEF=180°-∠DEF-∠BED=60°，
∴AEF是等邊三角形，
∴∠EAF=60°，AF=AE，
∵AE=BC，AF=BC，
∵∠EAF=∠ABC=60°，
∴AF∥BC，
在四邊形ACBF中，AF=BC，AF∥BC，
∴四邊形ACBF是平行四邊形，
∵∠ACB=90°，
∴?ACBF是矩形；

（4）構(gòu)圖方法：將△DEF紙片按圖所示方式放置，點(diǎn)C，F(xiàn)，B，E在同一條直線上，DF交AB于點(diǎn)Q，
提問(wèn)：當(dāng)△BFQ的面積等于四邊形CFQA的面積時(shí)，求CF的長(zhǎng)．
解：在Rt△ABC中，BC=2，AB=4，
∴AC=2$\sqrt{3}$，
設(shè)CF=x，則BF=2-x，
由平移知，AC∥QF，
∴△BFQ∽△BCA，
∴$\frac{BF}{BC}=\frac{FQ}{AC}$，
∴$\frac{2-x}{2}=\frac{FQ}{2\sqrt{3}}$，
∴FQ=$\sqrt{3}$（2-x），
∴S_△BFQ=$\frac{1}{2}$BF•FQ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（2-x）²，
∵△BFQ的面積等于四邊形CFQA的面積，
∴S_△BFQ=$\frac{1}{2}$S_△ABC=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$BC×AC=$\sqrt{3}$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$（2-x）²=$\sqrt{3}$，
∴x=2+$\sqrt{2}$（舍）或x=2-$\sqrt{2}$，
即：CF的長(zhǎng)為2-$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 此題是四邊形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，菱形，矩形的判斷和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解（1）的關(guān)鍵是判斷四邊形ACBF是平行四邊形，解（2）的關(guān)鍵是判斷出BE=CE，解（3）的關(guān)鍵是判斷出△AEF是等邊三角形，解（4）的關(guān)鍵是利用面積建立方程求解．