Question

18．如圖，在△ABC中，AC=BC=2，∠C=90°，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，垂足為E，AD的垂直平分線交AB于點(diǎn)F，則DF的長(zhǎng)為4-2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可得DE=CD，AE=AC，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到AF=DF，根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)可得△BDF、△BED是等腰直角三角形，在Rt△BED中，根據(jù)勾股定理可得DE的長(zhǎng)，進(jìn)一步得到DF的長(zhǎng)．

解答 解：∵AD是△ABC的角平分線，∠ACB=90°，DE⊥AB，
∴∠CAD=∠EAD，DE=CD，AE=AC=2，
∵AD的垂直平分線交AB于點(diǎn)F，
∴AF=DF，
∴∠ADF=∠EAD，
∴∠ADF=∠CAD，
∴AC∥DE，
∴∠BDE=∠C=90°，
∴△BDF、△BED是等腰直角三角形，
設(shè)DE=x，則EF=BE=x，BD=DF=2-x，
在Rt△BED中，DE²+BE²=BD²，
∴x²+x²=（2-x）²，
解得x₁=-2-2$\sqrt{2}$（負(fù)值舍去），x₂=-2+2$\sqrt{2}$，
∴x=-2+2$\sqrt{2}$，
∴DF=2-（-2+2$\sqrt{2}$）=4-2$\sqrt{2}$；
故答案為：4-2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、角平分線的性質(zhì)，由勾股定理得出方程是解題的關(guān)鍵．