Question

20．已知：在直角三角形ABC中，MN為斜邊AB的中垂線，M為垂足，MN與Rt∠ACB的平分線交于點(diǎn)N．求證：∠MCN=∠MNC．

Answer 1

分析 根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得AM=CM，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)及三角形的外角性質(zhì)可得∠CMB=2∠ACM，最后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得到∠MCN=∠MNC．

解答 證明：如圖，

∵M(jìn)N是AB的中垂線，
∴CM是斜邊AB上的中線，
∴AM=CM，
∴∠A=∠ACM，
∵CN是Rt∠ACB的角平分線，
∴∠ACN=45°，
∴∠MCN=45°-∠ACM，
∵∠CMB是△AMC的外角，
∴∠CMB=2∠ACM，
∵M(jìn)N⊥AB，
∴∠CMN=90°+2∠ACM，
∵∠CMN+∠MNC+∠MCN=180°，
∴∠MNC=45°-∠ACM，
∴∠MCN=∠MNC．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查直角三角形性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、三角形的外角性質(zhì)，掌握這些基本性質(zhì)和定理是解題的關(guān)鍵．