Question

12．圓O₁與圓O₂半徑分別為4和1，圓心距為2，作圓O₂的切線，被圓O₁所截得的最短弦長(zhǎng)為（　　）

• A． -1
• B． 8
• C． 2$\sqrt{7}$
• D． 2$\sqrt{5}$

Answer 1

分析 由條件可知兩圓內(nèi)含，不妨設(shè)截得的弦為AB，切點(diǎn)為C，由半徑、弦心距和弦長(zhǎng)的關(guān)系可知，在半徑一定的情況下，弦心距越小，則弦越長(zhǎng)，由圓外一點(diǎn)可到圓上各點(diǎn)的距離可知當(dāng)切點(diǎn)C在邊心線上時(shí)，滿足條件，連接O₁A，在Rt△ACO₁中，由勾股定理可求得AC的長(zhǎng)，則可求得弦長(zhǎng)．

解答 解：
∵圓O₁與圓O₂半徑分別為4和1，圓心距為2，
∴4-1＜2，故兩圓內(nèi)含，
不妨設(shè)截得的弦為AB，切點(diǎn)為C，連接O₁A，連接O₁O₂，O₂C，
∵半徑確定，
∴弦心距越小，則弦越長(zhǎng)，
∵AB是⊙O₂的切線，
∴O₂C⊥AB，
∴當(dāng)O₁、O₂、C在一條線上時(shí)，弦AB最短，
由題意可知OC₁=2+1=3，AO₁=4，
在Rt△ACO₁中，由勾股定理可得AC=$\sqrt{{4}^{2}-{3}^{2}}$=$\sqrt{7}$，
∴AB=2AC=2$\sqrt{7}$，
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查垂徑定理的應(yīng)用及最短弦的判定，由條件判斷出最短弦的位置是解題關(guān)鍵．