Question

13．如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=x²+$\frac{1}{4}$與y軸相交于點A，點B與點O關于點A對稱
（1）填空：點B的坐標是（0，$\frac{1}{2}$）；
（2）過點B的直線y=kx+b（其中k＜0）與x軸相交于點C，過點C作直線l平行于y軸，P是直線l上一點，且PB=PC，求線段PB的長（用含k的式子表示），并判斷點P是否在拋物線上，說明理由；
（3）在（2）的條件下，若點C關于直線BP的對稱點C′恰好落在該拋物線的對稱軸上，求此時點P的坐標．

Answer 1

分析 （1）由拋物線解析式可求得A點坐標，再利用對稱可求得B點坐標；
（2）可先用k表示出C點坐標，過B作BD⊥l于點D，條件可知P點在x軸上方，設P點縱坐標為y，可表示出PD、PB的長，在Rt△PBD中，利用勾股定理可求得y，則可求出PB的長，此時可得出P點坐標，代入拋物線解析式可判斷P點在拋物線上；
（3）利用平行線和軸對稱的性質(zhì)可得到∠OBC=∠CBP=∠C′BP=60°，則可求得OC的長，代入拋物線解析式可求得P點坐標．

解答 解：
（1）∵拋物線y=x²+$\frac{1}{4}$與y軸相交于點A，
∴A（0，$\frac{1}{4}$），
∵點B與點O關于點A對稱，
∴BA=OA=$\frac{1}{4}$，
∴OB=$\frac{1}{2}$，即B點坐標為（0，$\frac{1}{2}$），
故答案為：（0，$\frac{1}{2}$）；
（2）∵B點坐標為（0，$\frac{1}{2}$），
∴直線解析式為y=kx+$\frac{1}{2}$，令y=0可得kx+$\frac{1}{2}$=0，解得x=-$\frac{1}{2k}$，
∴OC=-$\frac{1}{2k}$，
∵PB=PC，
∴點P只能在x軸上方，
如圖1，過B作BD⊥l于點D，設PB=PC=m，

則BD=OC=-$\frac{1}{2k}$，CD=OB=$\frac{1}{2}$，
∴PD=PC-CD=m-$\frac{1}{2}$，
在Rt△PBD中，由勾股定理可得PB²=PD²+BD²，
即m²=（m-$\frac{1}{2}$）²+（-$\frac{1}{2k}$）²，解得m=$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4{k}^{2}}$，
∴PC=$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4{k}^{2}}$，
∴P點坐標為（-$\frac{1}{2k}$，$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4{k}^{2}}$），
當x=-$\frac{1}{2k}$時，代入拋物線解析式可得y=$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4{k}^{2}}$，
∴點P在拋物線上；
（3）如圖2，連接CC′，

∵l∥y軸，
∴∠OBC=∠PCB，
又PB=PC，
∴∠PCB=∠PBC，
∴∠PBC=∠OBC，
又C、C′關于BP對稱，且C′在拋物線的對稱軸上，即在y軸上，
∴∠PBC=∠PBC′，
∴∠OBC=∠CBP=∠C′BP=60°，
在Rt△OBC中，OB=$\frac{1}{2}$，則BC=1
∴OC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即P點的橫坐標為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，代入拋物線解析式可得y=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²+$\frac{1}{4}$=1，
∴P點坐標為（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1）．

點評 本題為二次函數(shù)的綜合應用，涉及知識點有軸對稱的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)等．在（2）中構造直角三角形，利用勾股定理得到關于PC的長的方程是解題的關鍵，在（3）中求得∠OBC=∠CBP=∠C′BP=60°是解題的關鍵．本題考查知識點較多，綜合性較強，難度適中．