Question

17．某商店購進一批進價為20元/件的日用商品，第一個月，按進價提高50%的價格出售，售出400件，第二個月，商店準備在不低于原售價的基礎上進行加價銷售，根據(jù)銷售經(jīng)驗，提高銷售單價會導致銷售量的減少．銷售量y（件）與銷售單價x（元）的關系如圖所示．
（1）圖中點P所表示的實際意義是當售價定為35元/件時，銷售數(shù)量為300件；銷售單價每提高1元時，銷售量相應減少20件；
（2）請直接寫出y與x之間的函數(shù)表達式y(tǒng)=-20x+1000；自變量x的取值范圍為30≤x≤50；
（3）第二個月的銷售單價定為多少元時，可獲得最大利潤？最大利潤是多少？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)坐標系中點的坐標的意義，即可寫出點P的實際意義，再根據(jù)“銷售單價每提升一元的銷售減少量=銷售減少數(shù)量÷增加價錢”即可列式算出結論；
（2）設y與x之間的函數(shù)表達式為y=kx+b，根據(jù)圖象上點的坐標利用待定系數(shù)法即可求出該函數(shù)表達式，令y=0求出x值，即可得出自變量x的取值范圍；
（3）設第二個月的利潤為w元，根據(jù)“利潤=單個利潤×銷售數(shù)量”即可得出w關于x的函數(shù)關系式，利用配方法結合二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問題．

解答 解：（1）圖中點P所表示的實際意義是：當售價定為35元/件時，銷售數(shù)量為300件；
第一個月的該商品的售價為：20×（1+50%）=30（元），
銷售單價每提高1元時，銷售量相應減少數(shù)量為：（400-300）÷（35-30）=20（件）．
故答案為：當售價定為35元/件時，銷售數(shù)量為300件；20．
（2）設y與x之間的函數(shù)表達式為y=kx+b，
將點（30，400）、（35，300）代入y=kx+b中，
得：$\left\{\begin{array}{l}{400=30k+b}\\{300=35k+b}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{k=-20}\\{b=1000}\end{array}\right.$，
∴y與x之間的函數(shù)表達式為y=-20x+1000．
當y=0時，x=50，
∴自變量x的取值范圍為30≤x≤50．
故答案為：y=-20x+1000；30≤x≤50．
（3）設第二個月的利潤為w元，
由已知得：w=（x-20）y=（x-20）（-20x+1000）=-20x²+1400x-20000=-20（x-35）²+4500，
∵-20＜0，
∴當x=35時，w取最大值，最大值為4500．
故第二個月的銷售單價定為35元時，可獲得最大利潤，最大利潤是4500元．

點評 本題考查了二次函數(shù)的應用、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式以及二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關鍵是：（1）熟悉坐標系中點的坐標的意義；（2）根據(jù)點的坐標利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式；（3）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解決最值問題．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)函數(shù)圖象上點的坐標利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式．