Question

6．觀察下列各數(shù)：
133可以分成13和3兩部分，13-3×2=7×1，133能被7整除；
245可以分成24和5兩部分，24-5×2=14=7×2，245能被7整除；
2394可以分成239和4兩部分，239-4×2=231=7×33，2394能被7整除；
6139可以分成613和9兩部分，613-9×2=595=7×75，6139能被7整除；
…
（1）求證：對于任意一個自然數(shù)，將其個位數(shù)字截去，再從余下的數(shù)中，減去個位數(shù)的2倍，如果差是7的倍數(shù)，則原自然數(shù)能被7整除；
（2）將一個多位自然數(shù)分解為個位與個位之前的數(shù)，讓個位之前的數(shù)加上個位數(shù)的K（K為正整數(shù)，1≤K≤15）倍，所得之和能被7整除，求當K為何值時使得原多位自然數(shù)一定能被7整除．

Answer 1

分析 （1）設(shè)這個自然數(shù)個位之前及個位數(shù)分別為m、n，由題意m-2n是7的倍數(shù)，則21m-（m-2n）也是7的倍數(shù)，即2（10m+n）是7的倍數(shù)，由此即可解決問題．
（2）設(shè)個位之前及個位數(shù)分別為m、n，由題意不妨設(shè)m+kn=7a，則原多位數(shù)為10m+n，由題意不妨設(shè)10m+n=7b，聯(lián)立可得：b=10a-$\frac{n}{7}$（10k-1），由此即可即可解決問題．

解答 解：（1）以下出現(xiàn)的字母均為自然數(shù)，設(shè)這個自然數(shù)個位之前及個位數(shù)分別為m、n，
依題意m-2n是7的倍數(shù)，
則21m-（m-2n）也是7的倍數(shù)，
∵20m+2n=2（10m+n），2不是7的不是，
∴10m+2n是7的倍數(shù)．

（2）設(shè)個位之前及個位數(shù)分別為m、n，
依題意不妨設(shè)m+kn=7a，
則原多位數(shù)為10m+n，
依題意不妨設(shè)10m+n=7b，
聯(lián)立可得：b=10a-$\frac{n}{7}$（10k-1），
則10k-1為7倍數(shù)，分別將 k=1、2、3、4、5…15代入可知，只有k=5或12時符合條件．

點評 此題主要考查了數(shù)的整除性，利用參數(shù)是解決問題的關(guān)鍵，題目比較抽象，有一定難度．