Question

6．如圖，在正方形ABCD中，P是對角線AC上的一點，點E在BC的延長線上，且PE=PB．
（1）求證：△BCP≌△DCP；
（2）求證：∠DPE=∠ABC．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得出∠BCP=∠DCP，再根據(jù)全等三角形的判定證明即可；
（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出∠CBP=∠CDP，再利用對頂角相等和平行線性質(zhì)證明即可．

解答 證明：（1）在正方形ABCD中，BC=DC，∠BCP=∠DCP=45°，
∵在△BCP和△DCP中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=DC}\\{∠BCP=∠DCP}\\{PC=PC}\end{array}\right.$，
∴△BCP≌△DCP（SAS）；
（2）由（1）知，△BCP≌△DCP，
∴∠CBP=∠CDP，
∵PE=PB，
∴∠CBP=∠E，
∴∠CDP=∠E，
∵∠1=∠2（對頂角相等），
∴180°-∠1-∠CDP=180°-∠2-∠E，
即∠DPE=∠DCE，
∵AB∥CD，
∴∠DCE=∠ABC，
∴∠DPE=∠ABC．

點評 本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并判斷出全等三角形是解題的關鍵．