Question

16．如圖1，在?ABCD中，點(diǎn)E是BC邊的中點(diǎn)，連接AE并延長，交DC的延長線于點(diǎn)F．且∠AEC=2∠ABE．連接BF、AC．
（1）求證：四邊形ABFC的是矩形；
（2）在圖1中，若點(diǎn)M是BF上一點(diǎn)，沿AM折疊△ABM，使點(diǎn)B恰好落在線段DF上的點(diǎn)B′處（如圖2），AB=13，AC=12，求MF的長．

Answer 1

分析 （1）由△ABE與△FCE全等，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得到AB=CF；再由AB與CF平行，根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形為平行四邊形得到ABFC為平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的對(duì)角線互相平分得到AE=EF，BE=EC；再由∠AEC為三角形ABE的外角，利用外角的性質(zhì)得到∠AEC等于∠ABE+∠EAB，再由∠AEC=2∠ABC，得到∠ABE=∠EAB，利用等角對(duì)等邊可得出AE=BE，可得出AF=BC，利用對(duì)角線相等的平行四邊形為矩形可得出ABFC為矩形；
（2）由四邊形ABFC是矩形，AB=13，AC=12，得到CF=AB=13，BF=AC=12，∠ACF=∠MFB′=90°，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到ABAB=13，B′M=BM，解直角三角形得到結(jié)果．

解答 證明：（1）∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AB∥DC，
∴∠ABE=∠ECF，
又∵E為BC的中點(diǎn)，
∴BE=CE，
在△ABE和△FCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABE=∠ECF}\\{BE=CE}\\{∠AEB=∠FEC}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△FCE（ASA）；
∴AB=CF，
又∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AB∥CF，
∴四邊形ABFC為平行四邊形，
∴BE=EC，AE=EF，
又∵∠AEC=2∠ABC，且∠AEC為△ABE的外角，
∴∠AEC=∠ABC+∠EAB，
∴∠ABC=∠EAB，
∴AE=BE，
∴AE+EF=BE+EC，即AF=BC，
則四邊形ABFC為矩形；

（2）∵四邊形ABFC是矩形，AB=13，AC=12，
∴CF=AB=13，BF=AC=12，∠ACF=∠MFB′=90°，
∵△AB′M是由△ABM折疊得到的，
∴ABAB=13，B′M=BM，
∴B′C=$\sqrt{{AB′}^{2}{-AC}^{2}}$=$\sqrt{{13}^{2}{-12}^{2}}$=5，
∴B′F=CF=B′C=13-5=8，
設(shè)MF=x，則B′M=BM=12-x，
∴B′F²+MF²=B′M²，
即：8²+x²=（12-x）²，
解得：x=$\frac{10}{3}$，
∴MF=$\frac{10}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了矩形的判定，平行四邊形的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，以及全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．