Question

17．觀察下列各式：
（x-1）（x+1）=x²-1
（x-1）（x²+x+1）=x³-1
（x-1）（x³+x²+x+1）=x⁴-1…
根據(jù)以上各式的規(guī)律解答下列問題：
（1）（x-1）（x⁴+x³+x²+x+1）=-1+x⁵（直接寫出結(jié)果）；
（2）（x-1）（xⁿ+x^n-1+…+x+1）═xⁿ⁺¹-1（用含n的代數(shù)式表示，n為正整數(shù)）；
（3）請直接利用（2）中得出的結(jié)論計算：1+2+2²+2³+…+2⁶⁴+2⁶⁵（要求書寫過程）
（4）3+3²+3³+…+3²⁰¹⁴+3²⁰¹⁵=$\frac{{3}^{2016}-3}{2}$（直接寫出結(jié)果）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)3個所給的算式，每個算式的結(jié)果中x的次數(shù)等于兩個因式中x的次數(shù)的和，寫出（x-1）（x⁴+x³+x²+x+1）的計算結(jié)果即可．
（2）根據(jù)3個所給的算式，每個算式的結(jié)果中x的次數(shù)等于兩個因式中x的次數(shù)的和，寫出（x-1）（xⁿ+x^n-1+…+x+1）的計算結(jié)果即可．
（3）根據(jù)1+2+2²+2³+…+2⁶⁴+2⁶⁵=（2-1）（1+2+2²+2³+…+2⁶⁴+2⁶⁵），求出算式的值是多少即可．
（4）利用（2）的結(jié)論，求出（3-1）（1+3+3²+3³+…+3²⁰¹⁴+3²⁰¹⁵）的值，即可求出3+3²+3³+…+3²⁰¹⁴+3²⁰¹⁵的計算結(jié)果是多少．

解答 解：（1）（x-1）（x⁴+x³+x²+x+1）=-1+x⁵．

（2）（x-1）（xⁿ+x^n-1+…+x+1）═xⁿ⁺¹-1．

（3）1+2+2²+2³+…+2⁶⁴+2⁶⁵
=（2-1）（1+2+2²+2³+…+2⁶⁴+2⁶⁵）
=2⁶⁵⁺¹-1
=2⁶⁶-1

（4）3+3²+3³+…+3²⁰¹⁴+3²⁰¹⁵
=（3-1）（1+3+3²+3³+…+3²⁰¹⁴+3²⁰¹⁵）×$\frac{1}{2}$-1
=（3²⁰¹⁵⁺¹-1）×$\frac{1}{2}$-1
=$\frac{{3}^{2016}-3}{2}$
故答案為：1+x⁵；xⁿ⁺¹-1；$\frac{{3}^{2016}-3}{2}$．

點評 此題主要考查了整式的混合運算，要熟練掌握，注意根據(jù)所給的算式總結(jié)出規(guī)律，并能利用總結(jié)出的規(guī)律解決實際問題．